生活中的幾何

文 /韓麗華

智慧數(shù)學(xué)

生活中的幾何

文 /韓麗華

責(zé)任編輯：王二喜

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題.在中考中，生活中的幾何問題越來越受到命題者的青睞.

一、生活中的幾何原理

例 1 （2016年永州卷）對下列生活現(xiàn)象的解釋,其數(shù)學(xué)原理運用錯誤的是（ ）

A．把彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理.

B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的原理.

C．將自行車的車架設(shè)計為三角形形狀是運用了“三角形穩(wěn)定性”的原理.

D．將車輪設(shè)計為圓形是運用了“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的原理.

解析：任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“兩點確定一條直線”的原理，B不正確.其他各選項正確.選B.

溫馨小提示：用數(shù)學(xué)原理解釋生活中的現(xiàn)象，熟悉常見的幾何定理是解題的關(guān)鍵.

二、刀片上的角度

例 2 （2016年湖州卷）圖1是我們常用的折疊式小刀，圖2中刀柄外形是一個矩形挖去一個小半圓，其中刀片的兩條邊沿線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動刀片時會形成∠1與∠2，則∠1與∠2的和是______度．

圖1

圖2

解析：如圖2，AB椅CD，蟻AEC=90°.

所以∠1+∠2=∠AEF+蟻CEF=蟻AEC=90°．填90.

溫馨小提示：利用平行線和矩形的性質(zhì)，解決了將刀片轉(zhuǎn)動時角度的計算問題.

三、足球射門的角度

例 3 （2016年金華卷）足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射門點到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.在圖3的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E均在格點上，球員帶球沿CD方向進攻，最好的射門點在（ ）

圖3

A.點C. B.點D或點E.

C. 線段DE（異于端點）上一點. D. 線段CD（異于端點）上一點.

解析：連接EB，AD，DB，AC，CB，作過點A，B，D的圓，可以確定點E在圓上，點C在圓外，根據(jù)圓周角及圓外角的性質(zhì)可以得到蟻AEB=蟻ADB>蟻ACB，所以最好的射門點是線段DE（異于端點）上一點.選C.

溫馨小提示：構(gòu)造輔助圓，根據(jù)圓周角、圓內(nèi)角及圓外角的性質(zhì)確定各張角的大小，進而得出結(jié)論．

四、地毯的面積

例 4 （2016年金華卷）一樓梯如圖4所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA 與CA 的夾角為茲.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（ ）

圖4

溫馨小提示：利用平移思想，將地毯的長轉(zhuǎn)化為直角三角形兩條直角邊的和，就容易求面積.

五、求標(biāo)語的長度

圖5

例 5 （2016年宜昌卷）楊陽同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達(dá)B處的過程中，通過隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標(biāo)語．其具體信息匯集如下：如圖5，ABOHCD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，ODCD，垂足為D，已知AB=20米．求標(biāo)語CD的長度．

∵ 相鄰兩平行線間的距離相等，∴BO=DO，

溫馨小提示：將實際問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題是解題的關(guān)鍵.

六、求行走的路程

例 6 （2016年十堰卷）如圖6，小華從點A 出發(fā)，沿直線走10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線走10米，又向左轉(zhuǎn)24°，一直這樣走，當(dāng)他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走的路程是（ ）

圖6

A.140米. B.150米. C.60米. D.240米.

解析：正多邊形的外角和是360°，每次左轉(zhuǎn)24°，所以360÷24=15，走的路程是一個邊長為10米的正十五邊形的周長，一共走了150米. 選B.

溫馨小提示：本題把正多邊形外角的計算與路程結(jié)合在一起，考查外角和的應(yīng)用.

七、破碎的玻璃片

例 7 （2016年紹興卷）小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖7的四塊，為了能在商店配到一塊相同形狀的玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應(yīng)該是（ ）

圖7

A.①② B.①④ C.③④D.②③

解析：只有②③兩塊角的兩邊互相平行，它們延長線的交點就是平行四邊形的頂點．選D．

溫馨小提示：要確定平行四邊形，只需確定四個頂點．

八、求閣樓的高度

圖8

例 8 （2016年陜西卷）小亮、小芳等同學(xué)想測量“望月閣”的高度，因觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得，于是他們用平面鏡進行測量．方法如下：如圖8，在直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標(biāo)記點C，鏡子不動，小亮看著鏡面上的標(biāo)記走動，走到點D時，看到“望月閣”頂端點A 在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時，測得小亮眼睛與地 面的高度ED=1.5米 ，CD=2米.然后 ，在陽光 下，他們用測影長的方法進行了第二次測量. 方法如下：小亮從D點沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點處，此時，測得小亮的影長FH=2.5米，身高FG=1.65米．

解得AB=99.

答：“望月閣”的高AB為99米．

溫馨小提示：要熟練掌握平行投影的性質(zhì)和光線的入射角等于反射角的特征.

九、求物體上升高度

例 9 （2016年蘭州卷）如圖9，用—個半徑為5cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了（ ）

圖9

A.仔cm. B.2仔cm. C.3仔cm. D.5仔cm.

解析：當(dāng)滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了108°時，重物上升的距離就是點P旋轉(zhuǎn)的弧長

溫馨小提示：將物體上升高度轉(zhuǎn)化為弧長是解題的關(guān)鍵.

十、求扇形的面積

例 10 （2016年青島卷）如圖10，一折疊紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB 長為25cm，貼紙部分的寬BD為15cm，若紙扇兩面貼紙，則貼紙的面積為（ ）

圖10

解析：∵AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，

溫馨小提示：扇環(huán)的面積等于兩個扇形面積之差.