基本載荷作用下橡膠類材料的超彈性力學性能分析

桑建兵，劉彥勇，邢素芳，王靜遠，付雙建

（河北工業大學機械工程學院，天津，300130）

基本載荷作用下橡膠類材料的超彈性力學性能分析

桑建兵，劉彥勇，邢素芳，王靜遠，付雙建

（河北工業大學機械工程學院，天津，300130）

基于有限變形的基本理論，對基本載荷作用下橡膠類材料的超彈性力學性能進行了分析.在高玉臣所提出的橡膠類材料的本構模型的基礎上，給出了1種新的不可壓縮超彈性應變能函數.引入參數α，當n=1且α=1時，新模型轉化為Mooney-Rivlin模型，而當n=1且α=0時，新模型轉化為Neo-Hookean模型.利用新的本構關系對橡膠類材料在單軸拉伸以及受內壓膨脹2種基本載荷作用下的超彈性力學性能進行了研究，分析了本構參數對單軸拉伸和內壓膨脹的影響，指出本構參數n為材料的強化參數，橡膠圓管受內壓膨脹時存在失穩現象，其穩定性不僅依賴于本構參數n而且與本構參數α相關.

橡膠類材料；本構關系；有限變形理論；單軸拉伸；內壓膨脹

0 引言

從20世紀40年代開始，彈性材料的有限變形理論得到了很大的發展.所得出的有意義理論結果和許多實驗驗證的結果被廣泛地應用于描述橡膠類材料的物理行為和工程領域.彈性材料有限變形的數學理論的本質是非線性的，在理論和應用中所遇到的數學方面的困難是可想而知的.近年來，有許多力學工作者用數學和數值分析方法對許多有限彈性理論的非線性問題和技術難題進行了研究.在研究中，人們越來越認識到建立反映橡膠類材料變形特征本構模型是解決問題的核心，選取簡單而適用的描述橡膠類材料的本構模型，決定著數值分析方法的精確性和得出結果的可用性[1-5].

目前，人們越來越關注橡膠類材料本構模型的建立，1948年Rivlin[6]從唯象學的角度出發提出了針對各向同性超彈性材料應變能函數：

Mooney-Rivlin本構模型由于形式簡單，容易通過實驗進行驗證，因此在工程上有著廣泛的應用.在長期的研究中積累了大量的理論和實驗結果，為后續的新本構模型的建立奠定了基礎.該模型能較好擬合不可壓縮橡膠材料小變形和中等應變范圍的材料力學行為，但不能精確的描述產生硬化現象的橡膠類材料的力學行為以及描述在大變形中應力-應變曲線的“陡升”行為，為了解決這些問題，人們構造對數型和冪指數型的本構模型[8-9].

1997年高玉臣[10]從材料的抗拉和抗壓角度，給出一種橡膠類材料的應變能函數，并基于此本構模型對橡膠類材料的裂尖場進行了分析.然而，在不可壓縮條件下，此應變能函數既不能簡化為Neo-Hookean材料，也不能簡化為Mooney-Rivlin材料.這影響著應變能函數應用的實驗基礎.高玉臣基于此本構模型對橡膠缺口與剛性楔體之間的大變形接觸問題，集中力作用下橡膠楔體的拉伸問題，橡膠類材料的界面裂紋，大應變彈性體的應力以及奇異性進行了分析[11-14].Long R[15]基于此本構模型對軟彈性體的裂尖場進行了準大變形分析.Sang JB[16]對此本構模型進行了修正，基于有限變形理論對含空洞圓形橡膠薄膜的大變形問題進行了分析.

在本文中，借鑒高玉臣的本構模型，建立一個描述不可壓縮橡膠類材料的新的本構模型.當n=1且α =0時，新模型轉化為Neo-Hookean模型，而當n=1且α=1時，新模型轉化為Mooney-Rivlin模型.通過對均勻變形進行分析和計算，考察了新模型的合理性和適用性.給出橡膠類材料的單軸拉伸以及橡膠圓管受內壓膨脹兩個特例，討論了兩個本構參數對材料行為的影響.

1 本構模型的修正

1997年高玉臣給出應變能函數[10]：

基于有限變形理論可得Cauchy應力張量的表達式為

基于本構模型式（2），對不可壓縮橡膠類材料，給出了修正后的應變能函數

對于新的本構模型式（4）的合理性，做如下討論.首先，式（4）滿足在剛性條件下，這意味著參考構形是自然構形.其次β1和β2滿足?β1/?I2+?β2/?I1=0即材料是超彈性的.再次，1975年Batra提出對各向同性材料進行單軸拉伸時，其本構模型需滿足經驗不等式，β1>0，β2≤0，Rivlin、Saunders和Treloar等人的試驗數據都說明這個經驗不等式是成立的，顯然，由式（7）可以看出，當A>0，n>0，α≥0時，β1≥0；β2≤0成立.最后討論新的本構模型是否滿足Baker-Ericksen不等式，這是1962年由Truesdell和Noll提出的.對于各向同性材料，較大的主應力應該產生在較大的主伸長[1]，即

不可壓縮條件為

由不可壓縮條件（11）得到

2 橡膠類材料的單向拉伸

為不失一般性，考慮一個有限變形材料的立方單元體.如圖1所示.

圖1 單軸變形示意圖Fig.1 The uniaxial deformation diagram

由本構關系式（5）可得分量形式

為了討論本構參數α和n對材料力學性能的影響，引入無量綱化的作用力F/A，由方程（18）得出：

對方程（20）的計算結果由圖2和圖3給出.

3 內壓作用下橡膠圓管的變形分析

圖2 本構參數n對F/A-λ關系曲線的影響（α=0.1）Fig.2 The relation between F/A-λ with effect of n（α=0.1）

圖3 本構參數α對F/A-λ關系曲線的影響（n=1.2）Fig.3 The relation between F/A-λ with effect of α（n=1.2）

圖4 受內壓橡膠圓管模型示意圖Fig.4 Rubber tube model diagram under pressure

其左柯西-格林應變張量以及3個應變不變量可表示為

由式（5）可以得到各Cauchy應力分量為

將式（27）代入式（26）可得：

在柱坐標系下，不計體力的影響，并由軸對稱條件得到徑向平衡方程為

將式（31）代入式（30）可得膨脹壓力的表達式為

將式（33）代入式（32），經過化簡可得

將膨脹壓力P進行無量綱化處理可得

4 結論

基于有限變形的基本理論，對高玉臣所提出的橡膠類材料的本構模型進行修改，給出1個新的不可壓縮超彈性應變能函數.由于引入參數α和n，使描述材料的模型具有更大的實用范圍.當n=1且α=0時，新的本構模型轉化為Neo-Hookean模型，而當n=1且α=1時，轉化為Mooney-Rivlin模型.對于橡膠類材料的單軸拉伸，給定本構參數α，隨著本構參數n增加，應力增大，明顯的具有強化特征，當n=1.4出現在大變形中應力-應變曲線的“陡升”行為；給定本構參數n，α控制了I2對于材料變形和應力的影響，對于給定的n=1.2，隨著α的增加，應力相應的也會增加，但影響的效果較強化參數n的影響的效果小.對于橡膠圓管受內壓膨脹問題，固定α和λz，當n取較小值時，橡膠圓管具有較大的環向主伸長，表示橡膠圓管的膨脹能力較強，韌性較好，尤其當n<1時，橡膠軟管出現了失穩現象.當n取較大值時，橡膠圓管具有較小的環向主伸長，隨著n的增加，內壓增加明顯，具有明顯的強化特征；固定n和λz，α同樣控制了I2對于材料變形的影響，隨著α的增加，內壓相應地增加，但影響的效果較強化參數n的影響效果小.

圖5 本構參數n對P*-λ曲線的影響Fig.5 The Relation between P*and λ for different n

圖6 本構參數α對P*-λ曲線的影響Fig.6 The Relation between P*and λ for different α

[1]Beatty M F.Topics in finite elasticity：hyperelasticity of rubber，elastomer，and biological tissues-with example[J].Applied Mechanics Review，1987，40（12）：1699-1734.

[2]Fuzhang Zhao.Continuum constitutive modeling for isotropic hyperelastic materials[J].Advances in Pure Mathematics，2016，6，571-582.

[3]EhretAE.OnamolecularstatisticalbasisforOgden'smodelofrubberelasticity[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2015，78：249-268.

[4]Yükseler R F.A theory for rubber-like rods[J].International Journal of Solids&Structures，2015，69-70：350-359.

[5]Li F，Liu J，Yang H，et al.Numerical simulation and experimental verification of heat build-up for rubber compounds[J].Polymer，2016，101：199-207.

[6]Rivlin R S.Large elastic deformations of isotropic materials.ii.some uniqueness theorems for pure，homogeneous deformation[J].Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences，1948，240（822）：491-508.

[7]黃筑平.連續介質力學基礎[M].北京：高等教育出版社，2003.

[8]Gent A N.A new constitutive ralation for rubber[J].Rubber Chemistry and Technology.1996，69（1）：59-61.

[9]Horgan C O，Saccomandi G.A molecular-statistical basis for the Gent constitutive model of rubber elasticity[J].J Elasticity，2002，68（1）：167-176.

[10]Gao Y C.Large deformation field near a crack tip in rubber-like material[J].Theoretical&Applied Fracture Mechanics，1997，26（3）：155-162.

[11]Gao Y C，Gao T J.Large deformation contact of a rubber notch with a rigid wedge[J].International Journal of Solids and Structures，2000，37（32）：4319-4334.

[12]Gao Y C，Chen S H.Analysis of a rubber cone tensioned by a concentrated force[J].Mechanics Research Communications，2001，28（1）：49-54.

[13]Gao Y C.Analysis of the interface crack for rubber-like materials[J].Journal of Elasticity，2002，66（1）：1-19.

[14]Gao Y C，Jin M，Dui G S.Stresses，singularities，and a complementary energy principle for large strain elasticity[J].Applied Mechanics Reviews，2011，61（61）：683-695.

[15]Long R，Hui C Y.Crack tip fields in soft elastic solids subjected to large quasi-static deformation-A review[J].Extreme Mechanics Letters，2015，4：131-155.

[16]Sang JB，Xing SF，Tian HY et al.Research on mechanical properties of a polymer membrane with a void based on the finite deformation theory[J].e-Polymers，2015，15（5）：293-299.

[責任編輯田豐 夏紅梅]

Analysis of hyperelastic mechanical property on rubber like materials under basic load

SANG Jianbing,LIU Yanyong,XING Sufang,WANG Jingyuan,FU Shuangjian
（School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China）

Based on the finite deformation theory,analysis of hyper elastic mechanical property on rubber like materials under basic load has been proposed.A new constitutive model modified from Gao's second constitutive model has been introduced by utilizing the finite deformation theory.In the circumstance that material is incompressible,when and,the new constitutive relation may be simplified to Mooney-Rivlin model;when and,the new constitutive relation may be simplified to Neo-Hookean model.By utilizing the new constitutive relation,super elastic mechanical properties of the rubber materials has been researched under basic loads,which include the uniaxial tension and inflation under internal pressure.The influence of constitutive parameters has been analyzed,which has been pointed out that is the intensive parameter of the materials.Rubber tube has the phenomenon of instability under internal pressure.Its stability is not only dependent on the constitutive parameter but also related to the constitutive parameter α.

rubber like materials;constitutive model;finite deformation theory;uniaxial tension;inflation under internal pressure

U465

A

1007-2373（2017）02-0036-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.02.007

2016-12-05

河北省教育廳自然科學重點項目（ZD20131019，ZD2016083）；天津市科技特派員項目（16JCTPJC53100）

桑建兵（1974-），男，教授，sangjianbing@hebut.edu.cn.