最優化視角下對數學線性規劃內容的拓展
——兼談約束條件下目標函數最值高考題的類型分析

□周如俊

（江蘇省灌南中等專業學校，江蘇灌南 222500）

最優化視角下對數學線性規劃內容的拓展
——兼談約束條件下目標函數最值高考題的類型分析

□周如俊

（江蘇省灌南中等專業學校，江蘇灌南 222500）

從最優化視角對高中數學線性規劃內容進行拓展，借助線性規劃作圖解決最值思想，從一個新的角度對高考有關線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標函數最值問題“模型構建”進行 引申歸類，形成“LC-LF”類 、“LC-NLF”類、“NLC-LF”類 、“NLC-NLF”類四種模 型，并提出相應“破解”之策.

線性規劃；拓展；高考題；類型分析

《全日制普通高中數學課程標準（實驗）》中關于線性規劃內容提到：線性規劃是最優化的具體模型之一.在高中數學中，線性規劃問題 都 是 最 簡 單 的 線 性 規 劃（Linear Programming，簡稱 LP）問題，即線性約束條件下線性（目標）函數最優化問題.其數學思想在高考解題中具有很強的現實意義，核心是運用數形結合的思想方法，借助平面圖形，求目標函數的最值問題[1].

綜觀最近幾年高考約束條件下目標函數最值考題，其內容都是對簡單的線性規劃問題的引申與深化.這涉及應用數學中最優化（Optimization）問題，其模型一般包括變量、約束條件和目標函數三要素.根據目標函數和約束條件性質，對最優化問題作進一步分類：當目標函數和約束條件都是線性的，則稱線性規劃；當目標函數或約束中有一非線性函數時，則稱非線性規劃；當目標函數是二次的，而約束是線性時，則稱為二次規劃.

筆者基于當前高考有關考題與命題趨勢，從最優化視角對高考有關最值考題的約束條件與目標函數作表1所示分類，嘗試對高中數學教材有關線性規劃內容拓展.其中線性約束條件一般是指二元一次不等式組；非線性約束條件一般是指一個二元非一次不等式（組）（有時也可能是表示曲線或圓的函數）；線性函數關系是指直線，而非線性函數關系是指非直線，包括各種曲線、折線、不連續的線等.適當對線性（非線性）約束條件下線性（非線性）目標函數問題“模型構建”，利用其函數的幾何意義，借助作圖解決高考最值問題，這是從一個新的角度對求最值問題的理解.

表1

一、“LC-LF”最值類

“LC-LF”最值類問題，即指線性約束條件下線性函數的最值問題.一般這類考題線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數是一個二元一次函數，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程組所表示的直線所圍成的區域，在可行域解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標即簡單線性規劃的最優解.

【解題本質】這類考題的解決，重要在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形，通過目標函數 z=ax+by(a≠ 0)中 直 線 l:ax+by=0 的 平 移 法 ，利 用 直 線的縱截距解決最值問題（當b為正值時將直線 l:ax+by=0 向上平移使目標函數取得最大值，反之 b為負值時向下移動使目標函數取得最小值）；當線性目標直線的斜率與約束條件的邊界相等時，最優解有無數多個 .解題過程中關鍵是突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、“移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優解）.這種求最值的方法也稱“角點法”[2].

【例 1】（2016 年北京高考題（理）：一、選擇題 第（2）題）若 x,y 滿 足，則 2x+y的最大值為：

【解 析】：略.如圖1，正確答案為C.

圖1

二、“LC-NLF”最值類

“LC-NLF”最值類問題，即指線性約束條件下非線性函數的最值問題.一般這類考題的線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標函數是一個二元非線性函數（常見的有表示圓的二元函數：

【解題本質】這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解線性約束所表示的幾何意義，并利用圖形及非線性目標函數所表示的幾何意義（如兩點間距離、直線斜率）求出最優解及目標函數的最值.

例如，形如 z=(x-a)2+(y-b)2的目標函數均可化為求可行域內的點 (x,y)與點 (a,b)之間的距離平方的最值問題；形如的目標函數，可將問題轉化為求可行域內的點與點(a,b)連線的斜率的范圍問題 .將此問題推廣：形如的目標函數，則變形轉化為形式的目標函數，將問題轉化為求可行域內的點與點連線的倍斜率的范圍問題；形如的目標函數，可轉化形式 的 目 標 函 數 ，求 可 行 域 內 點 (x,y)到 直 線 Ax+By+C=0的距離的倍最值.

【例 2】（2016 年江蘇高考題（理）：一、填空題 第 12 題 ）已 知 實 數 x,y 滿 足則 x2+y2的 取 值 范 圍 是_______________.

【解 析】：略.如圖 2，z=x2+y2的取值范圍是

圖2

三、“NLC-LF”最值類

“NLC-LF”最值類問題，即指非線性約束條件下線性函數的最值問題.一般這類考題非線性約束條件是一個二元非一次不等式不等式（組）（有時也可能是表示曲線（或圓）的函數）[4]，目標函數一個二元一次函數，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區域內的各點的點坐標( x,y )即可行解，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標(x,y) 即最優解.【解題本質】這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解非線性約束條件所表達的幾何意義，并畫出其圖形，利用簡單線性規劃求最優解方法求出最優解及目標函數的最值.

【例 3】（2011 年浙江高考（理）：二、填空題第（16）題）設 x,y 為實數，若 4x2+y2+xy=1 ，則 2x+y 的最大值為__________.

【解析】：由 4x2+y2+xy=1 得

因此本題轉化為“NLC-LF”最值類問題：若實數 x，y滿足 x2+y2=1，求的最大值.

圖3

約束條件：x2+y2=1是一個關于 x,y 的一個二元等式；

可行域：是指 x2+y2=1圓上周點Ω（如圖3）；

可行解：所有滿足（x,y） ∈ Ω 圓周的點的坐標）實數 x,y 都是可行解；

最 優 解 ：（x,y） ∈ Ω ，即 可 行 域 上 一 點 (x,y) ，便使得一組平行線（z為參數）中的 z取得最大值和最小值時，所對應的點 的 坐標(x ,y) 就是 線 性 規劃 的 最優 解.顯然，圖示直線與圓相切的切點（x,y）是線性規劃的最優解，即，從而解得

四、“NLC-NLF”最值類

“NLC-NLF”最值類問題，即指非線性約束條件下非線性函數的最值問題.一般這類考題非線性約束條件是一個二元非一次不等式不等式（組）（有時也可能是表示曲線（或圓）的函數），目標函數是一個二元非線性函數，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區 域 內 的 各 點 的 點 坐 標(x ,y) 即 可 行 解 ，在可行解中的使得目標函數取得最大值和最小值的點的坐標( x,y )即最優解.

【解題本質】這類問題的解決，關鍵在于能夠正確理解非線性約束條件的幾何意義，利用非線性約束條件作出圖形并利用非線性目標函數所表示的幾何意義求出最優解及目標函數的值；有時也可以將“NLC-NLF”問題變換，轉化為上述三種類型問題求解.

【例 4】（2012 年江蘇高考題（理）：一、填空題第14題）已知正數a，b，c滿足：5c-3a ≤b≤ 4c-a,clnb≥a+clnc ，則的取值范圍是_______.

圖4

【 解 析 】 條 件 5c-3a≤ b≤4c-a, clnb ≥ a+clnc 可化為：

可行域：如圖4的區域Ω（兩條線與曲線組成的陰影部分）；

可行解：所有滿足（x,y） ∈ Ω 上的點的坐標實數 x,y 都是可行解；

最 優 解 ：（x,y） ∈ Ω ，即 可 行 域 內 一 點(x,y )，使 得 它 與 點 (0 ,0 )的 斜 率 取 得 最 值 ，此時所對應的點的坐標(x ,y )就是最優解.

如圖4，求出 y=ex

的切線的斜率 e ，設過切點 P(x0,y0) 的切線為 y=ex+m(m ≥ 0) ，

［1］潘曉春.運用簡單線性規劃思想理解求最值問題［J］.數學教學，2006（4）：25-27.

［2］張金龍，錢軍先，李文斌.線性規劃方法的本質：多元函數最值問題的圖象解法［J］.新高考：高三數學，2013（1）：24-26，35.

［3］李劍.運用線性規劃的思想解決多元變量求最值［J］.數理化學習：高三版，2013（8）：49-50.

［4］張瓊.利用線性規劃的思想求無理函數的最值［J］.高中數理化，2011（17）：20-21.