基于貝葉斯理論的教學(xué)質(zhì)量評價(jià)影響因素分析

程剛

摘要：教師教學(xué)質(zhì)量評價(jià)是高校教學(xué)管理中必不可少的組成部分。科學(xué)的教學(xué)質(zhì)量評價(jià)體系不僅有助于教學(xué)質(zhì)量檢測，也有助于提高教師的教學(xué)水平，促進(jìn)高等教育的發(fā)展。本文所討論的影響因素是著眼于研究教師的個(gè)人特征對教評的影響，同時(shí)運(yùn)用科學(xué)的定量方法，分別建立經(jīng)典線性回歸模型、貝葉斯分層線性模型，比較不同模型中參數(shù)的估計(jì)與意義，最后證實(shí)貝葉斯分層模型的擬合效果較優(yōu)。研究結(jié)果顯示：將外貌評分作為隨機(jī)效應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)教師的外貌差異對教學(xué)評價(jià)有顯著影響。研究結(jié)果對于構(gòu)建科學(xué)的教學(xué)質(zhì)量評價(jià)體系具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：教學(xué)質(zhì)量評價(jià)；混合效應(yīng)模型；貝葉斯分層模型；MCMC算法

中圖分類號：G434 文獻(xiàn)識別碼：A 文章編號：1001-828X（2017）007-0-03

一、引言

隨著高等教育的發(fā)展，高校教學(xué)質(zhì)量評估深入展開，教學(xué)質(zhì)量越來越引起人們的重視，而關(guān)于大學(xué)教師教學(xué)評分的研究也越來越受到重視。然而，在實(shí)際中對教師的教學(xué)效果進(jìn)行評估時(shí)會受到多方面因素的影響，一般認(rèn)為最主要的因素是教師教學(xué)質(zhì)量的好壞。但不可否認(rèn)的是，還有一些因素也會影響到學(xué)生對教師教學(xué)質(zhì)量的評估，如教師的個(gè)人特征、學(xué)科的差異、不同年級，以及師生間認(rèn)知方式等。但是，關(guān)于這些因素的影響研究基本上是對教評體系進(jìn)行定性的，簡單的描述，而定量的實(shí)證研究結(jié)果較少。而且由于教評的復(fù)雜性，采用簡單的定性方法，要做出令人信服、滿意的評價(jià)似乎很困難，另一方面，簡單的定量方法則可能更加脫離實(shí)際性。

總之，教評的合理性是教評體系中的重中之重，如何設(shè)計(jì)出一套科學(xué)的教評體系是高校教育工作者們所關(guān)心的問題。本文在前人的研究基礎(chǔ)上，利用科學(xué)的定量模型，試圖找出可能的影響因素，以期進(jìn)一步分析影響學(xué)生教評的關(guān)鍵因素，最后根據(jù)實(shí)證結(jié)果進(jìn)行分析并提供相應(yīng)的意見與建議。

二、研究方法

1.貝葉斯推斷與MCMC算法

由貝葉斯定理發(fā)展而來的統(tǒng)計(jì)理論被許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)展為一種全面的統(tǒng)計(jì)推斷理論，稱為貝葉斯理論。貝葉斯理論的核心觀點(diǎn)是認(rèn)為總體的參數(shù)服從某一個(gè)先驗(yàn)分布，它是在進(jìn)行推斷時(shí)一個(gè)必不可少的信息。貝葉斯推斷的過程是利用樣本的分布以及總體的先驗(yàn)分布，根據(jù)貝葉斯公式計(jì)算得到總體的后驗(yàn)分布，后驗(yàn)分布則被認(rèn)為包含了樣本信息以及先驗(yàn)信息。

但是，貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析面臨的最大挑戰(zhàn)就是對后驗(yàn)信息的計(jì)算，因?yàn)楹篁?yàn)信息的推斷往往涉及到對多維積分的數(shù)值計(jì)算，如以下形式的積分：

其中f（x）是一個(gè)高維空間中的目標(biāo)函數(shù)，而傳統(tǒng)的方法是難以計(jì)算多維積分的，這一直限制著貝葉斯方法的發(fā)展。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的進(jìn)步，其中馬爾科夫蒙特卡洛算法（MCMC）的應(yīng)用使得貝葉斯理論在過去的幾十年得以迅速應(yīng)用。

MCMC的基礎(chǔ)理論為馬爾科夫過程。在MCMC算法中，為了在某一個(gè)指定的分布上采樣，根據(jù)馬爾科夫原理，首先從任一狀態(tài)出發(fā)，模擬馬爾科夫過程，不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)移，最終收斂平穩(wěn)分布。它的基本思路是，對于一個(gè)給定的概率分布P（X），若是要得到其樣本，我們可以構(gòu)造一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣為 的馬爾科夫鏈，使得該馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布為P（X）。現(xiàn)如今，MCMC已經(jīng)是解決高維統(tǒng)計(jì)問題時(shí)必不可少的工具，它可以獲得一條或許多條收斂的馬爾科夫鏈，該馬氏鏈的極限分布即為總體參數(shù)的后驗(yàn)分布。

2.貝葉斯分層回歸模型

一般的線性混合效應(yīng)模型假設(shè)模型里一部分系數(shù)具有隨機(jī)效應(yīng)，另外一部分具有固定效應(yīng)，考慮到了觀測值不一定來自于同一總體，但是卻沒有充分利用觀測值的先驗(yàn)信息。貝葉斯分層線性回歸模型即假設(shè)所有隨機(jī)的系數(shù)服從某個(gè)分布（一般是正態(tài)分布），并且假設(shè)分布中的所有未知參數(shù)都服從某個(gè)先驗(yàn)分布，充分利用先驗(yàn)信息，由此建構(gòu)更為合理的模型。

一般貝葉斯分層線性回歸模型可以用如下公式表述：

其矩陣形式為：

其中y代表因變量，一共有i組水平，每組水平有ki個(gè)觀測值。β0是固定效應(yīng)截距， b0i是第i組水平的隨機(jī)截距，并有p個(gè)解釋變量具有固定效應(yīng)，有q個(gè)解釋變量具有隨機(jī)效應(yīng)， εi是每組水平測量誤差（其不必服從獨(dú)立同分布條件，即對ε沒有Var（ε）=σ2及Cov（εi，εi）=0的假定）是一個(gè)ki維的向量。

在矩陣形式中，X為固定效應(yīng)矩陣，是一個(gè)ki×p維的矩陣， Z為隨機(jī)效應(yīng)矩陣，是一個(gè)ki×p維矩陣。貝葉斯混合效應(yīng)模型要求對所有參數(shù)都設(shè)置先驗(yàn)分布，其中

誤差的方差σ2的先驗(yàn)分布為逆伽馬分布，

假定系數(shù)的先驗(yàn)分布為多元正態(tài)分布，

隨機(jī)效應(yīng)系數(shù)的協(xié)方差矩陣Σ服從逆Wishart分布，即：

Σ～I(xiàn)Wishart（r，R）

同時(shí)假定超參數(shù)的先驗(yàn)值為無信息量的先驗(yàn)。已知先驗(yàn)分布和條件概率函數(shù)，由貝葉斯公式，可以寫出其后驗(yàn)分布的密度函數(shù)形式，由于篇幅限制，本文不這里進(jìn)行推導(dǎo)。

三、實(shí)證與分析

1.數(shù)據(jù)說明

本文的數(shù)據(jù)選取于得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校（University of Texas at Austin）在2000～2002年的一份針對教職人員教學(xué)質(zhì)量評價(jià)影響因素的研究。數(shù)據(jù)總共包含了463個(gè)班級評分（觀測值），分別描述了94個(gè)教師（即94個(gè)水平），每個(gè)教師所教授的班級數(shù)有所不同，變量的描述性統(tǒng)計(jì)見表1。數(shù)據(jù)可由R軟件中AER安裝包里的數(shù)據(jù)集： 獲得。

2.模型建立

（1）經(jīng)典線性回歸模型

經(jīng)典線性回歸模型的一般形式為：

其中i=1，2...，94。εi相互獨(dú)立同分布，E（εi）=0，且Var（εi）=σ2，則有εi～N（0，σ2）。以上假設(shè)保證了各觀測值來自于同一總體，即自變量沒有隨機(jī)誤差，它對因變量的作用效應(yīng)是固定的。擬合簡單線性模型，并用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)， 得到模型一的各系數(shù)估計(jì)如下表所示：

Signif. codes： 0 ‘*** 0.001 ‘** 0.01 ‘* 0.05 ‘. 0.1 ‘

分析上表，可以得出：①教學(xué)評分與教師外貌評分的統(tǒng)計(jì)關(guān)系最為顯著，并且呈正相關(guān)，即外貌評分越高的教師更易獲得更高的教學(xué)評分；②課程學(xué)分越低，教師獲得的評分相對較高；③而女性教師，黑人教師，母語非英語的教師以及獲得終身職稱的教師的教學(xué)評分相對較低；④年齡差異，學(xué)生年級差異則對教評無顯著影響。圖1展示了beauty與eval的關(guān)系，直線為回歸擬合曲線，可以直觀的看出隨著教師外貌評分的提高，教學(xué)評分也相應(yīng)提高。

系數(shù)保留兩位小數(shù)得到的回歸模型如下：

其中i=1，2...，94。

（2）貝葉斯混合效應(yīng)模型

與線性混合效應(yīng)模型有所不同，貝葉斯分層回歸模型假設(shè)教師的外貌評分變量B1服從正態(tài)分布，并且假設(shè)其參數(shù)服從某一先驗(yàn)分布。其先驗(yàn)分布形式已在前文陳述，并且先驗(yàn)分布的參數(shù)采用無信息先驗(yàn)，可由R語言安裝包MCMCpack中函數(shù)dwish和rwish計(jì)算得出。將B1作為隨機(jī)效應(yīng)，將X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7作為固定效應(yīng)，教學(xué)評分Y作為因變量，得模型二的表達(dá)式如下：

其中i=1，2...，94分別對應(yīng)94位教師，j=1，2...，nj分別對應(yīng)于第 i個(gè)教師的第j次觀測值，β0為固定效應(yīng)截距，b1i為隨機(jī)效應(yīng)的系數(shù)， b0i為隨機(jī)截距， εij為誤差項(xiàng)。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在R語言中利用安裝包MCMCpack中MCMChregress函數(shù)對模型進(jìn)行估計(jì)。由于貝葉分層線性回歸模型對每個(gè)水平下的隨機(jī)效應(yīng)變量都進(jìn)行估計(jì)，于是分別得到94個(gè)隨機(jī)截距和變量B1的估計(jì)值和8個(gè)固定效應(yīng)變量估計(jì)值，共計(jì)192個(gè)估計(jì)值，即估計(jì)出每個(gè)教師所在水平下對應(yīng)的模型。

需要注意的是，在對于任何一個(gè)以MCMC為基礎(chǔ)的貝葉斯模型的估計(jì)中，關(guān)于模型的收斂性的檢驗(yàn)都是必不可少的。而一個(gè)MCMC模型達(dá)到收斂，是指模擬的結(jié)果來源于所構(gòu)造的馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布或目標(biāo)分布。下圖反映了隨著抽樣迭代次數(shù)的增加截距項(xiàng)的平穩(wěn)性以及密度函數(shù)狀態(tài)。由圖2可以直接看出，在進(jìn)行抽樣迭代200次之后，馬氏鏈仍未收斂，而在抽樣迭代1000次以后，則可以認(rèn)為馬氏鏈達(dá)到平穩(wěn)收斂狀態(tài)，并且截距項(xiàng)的密度函數(shù)近似服從正態(tài)分布。

可以得到模型二的表達(dá)式如下：

由于模型二得到的估計(jì)值太多，在這里便不再一一列出，我們分別計(jì)算隨機(jī)截距和變量B1的94個(gè)估計(jì)值平均值來與模型一進(jìn)行比較。其中： =0.01622，=0.20378。

下圖顯示的是模型二的預(yù)測評分與原始評分的擬合情況，可以看出預(yù)測評分與原始評分?jǐn)M合效果較好。

（3）結(jié)果分析

下表顯示了模型一，模型二的各參數(shù)對比情況：

由上表可以看出：模型二中的beauty系數(shù)遠(yuǎn)小于模型一。這是由于貝葉斯分層模型將所有教師分別看作94個(gè)水平，對于每一層建立模型。即認(rèn)為同一層次下的觀測值是相互聯(lián)系的，所以對于每一位教師，其beauty系數(shù)相同。而不同層次之間的觀測值是相互獨(dú)立的，其間的差異性由隨機(jī)截距中和，而beauty系數(shù)的減小則可以降低因教師外貌評分引起的誤差。

總的來說，由比較結(jié)果可以看出，應(yīng)用貝葉斯分層模型分別對變量B1及其隨機(jī)截距進(jìn)行估計(jì)，得到的模型二較優(yōu)。可認(rèn)為貝葉斯方法綜合了先驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)際教師外貌評分，起到了減小誤差的作用。

四、結(jié)論與建議

本文首先簡述了貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析、MCMC方法的基本思想，以及貝葉斯分層模型的性質(zhì)和一般形式，隨后分別建立兩個(gè)模型進(jìn)行理論研究及比較，最后進(jìn)行實(shí)證。證明了貝葉斯分層線性回歸方法比經(jīng)典的線性回歸更加適用于分層數(shù)據(jù)。本文的意義在于從理論和實(shí)證討論了貝葉斯分層線性回歸模型，對教學(xué)質(zhì)量評價(jià)影響因素的分析有著重大意義。

通過以上的模型分析與研究，可以得出以下結(jié)論：

（1）教師外貌評分對教評有顯著影響，即教師外貌會影響到學(xué)生的主觀評分傾向，從而影響教評結(jié)果。

（2）課程學(xué)分越低，學(xué)生對教師的教學(xué)評分越高。即課程越重要，學(xué)生在給教師評分時(shí)會降低教評分?jǐn)?shù)。

（3）總的看來，教師的籍貫會對學(xué)生教評產(chǎn)生較大影響。其中母語為英語的教師更加受到學(xué)生的喜愛，評分較高。

（4）值得注意的是，黑人教師的相對評分較低。由此可以看出學(xué)生對于黑人教師的評分可能存在膚色歧視。

（5）教師的年齡和學(xué)生的年級高低對于教評無較大影響。

針對以上結(jié)論，本文給出以下建議：

（1）不可否認(rèn)，教評是一種帶有感情化的評分，學(xué)生在教評過程中，難免會受到心理，感情上的主觀因素影響，導(dǎo)致對教師授課質(zhì)量的評估出現(xiàn)誤差。例如教師的外貌越好看就越容易受到學(xué)生的喜愛，而黑人教師可能受到學(xué)生的歧視等。為減少學(xué)生主觀因素造成的誤差，建議在教評工作前對學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，講明評估的意義和重要性，讓學(xué)生能真實(shí)地反映實(shí)際情況。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生傾向于對學(xué)分較高的課程打較低的分?jǐn)?shù)，這可能是由于課程的難易程度，考試成績等因素影響的。而如果學(xué)生對所學(xué)的課程感興趣，那么其相應(yīng)的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)動力都會對教評產(chǎn)生影響。

（3）選擇有效的評估工具，進(jìn)行科學(xué)的結(jié)果分析。有效合理的教評系統(tǒng)是能否真實(shí)檢測教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，開發(fā)或選擇合適的評估工具對提高整個(gè)評估系統(tǒng)的精確性具有重要意義。科學(xué)的結(jié)果分析避免了結(jié)論的主觀性，使得教評結(jié)果更加具有說服力。

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作者簡介：程 剛（1995-），男，漢族，四川綿陽人，學(xué)生，學(xué)位：本科，主要從事統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究。

基金項(xiàng)目：上海市大學(xué)生創(chuàng)新活動計(jì)劃項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：201610273054。