淺談函數“恒成立問題”與“最值問題”的等價轉化

福建省連城一中 張濤生

縱觀近10年全國卷高考數學壓軸題，基本體現以下三個方面的基本關系。

（一）各類不等式與函數最值的關系，如下表。

不等式類型 與最值的關系

?

（二）函數f(x)對區間D的x1、x2，都有恒成立，

3、已知f(x)對總存在對于使得設f(x)在區間D1上的值域為A，g(x)在D2上的值域為B，則A?B.

主要有以下三方面的題型。

一、與三角形構建有關的“恒成立問題”

例1，已知若 在區間[0，2]上任取三個數a、b、c，均存在著f(a)、f(b)、f(c)為邊長的三角形，求實數m的取值范圍。

解：

[命題意圖]：把“三角形存在性問題”轉化任意的兩邊之和大于第三邊，轉化為兩條最小邊之和大于最大邊。

二、與不等式有關的“恒成立問題”

例2，已知函數（x）+g（x）.若關于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整數m的最小值；

解：令

當m≤0時，因為x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是遞增函數，

又因為G

所以關于x的不等式G（x）≤mx-1不能恒成立.

當m＞0時.

令G′所以當時，G′（x）＞0；當時，G′（x）＜0.

因此函數G（x）在是增函數，在是減函數.

故函數G（x）最大值為.

令h （m）=因為h（1）h（2）

又因為h（m）在m∈（0，+∞）上是減函數，所以當m≥2時，h（m）＜0.

所以整數m的最小值為2.

[解題思路]：利用計算函數在區間D的最大值和最小值解決函數的恒成立問題。

例3，如果函數滿足對任意的都有恒成立，則實數a的取值范圍是？

三、與等式有關的“恒成立問題”

例4，已知

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若對任意的總存在使求實數a的取值范圍.

解：設在區間[1,e]上f(x)的值域為A，在[0,3]上g(x)的值域為B，

則依題意A?B易知g(x)在[0,1]上遞增，在[1,3]上遞減，

①當a≤0時，f(x)在[1,e]上單調遞增，

②當a≥1時，f(x)在[1,e]上單調遞減，A = [1 - ae,- a]

③當時，f(x)在[1,e]上單調遞增，可得

④當時，f(x)在[1,e]上

綜上，實數a的取值范圍為

以上這些例題中，本質問題就是構造函數，把問題轉化為函數的最大（小）值，進而研究函數在區間D上的最值，通過求導，得出極值點的坐標，從而得出函數的最大（小）值，確定參數的取值范圍，這是這類問題的基本解題思想。