聚焦高考中的計數問題

■河南省平頂山市一中 李智恒

聚焦高考中的計數問題

■河南省平頂山市一中 李智恒

計數問題種類繁多,方法多變,但從高考的角度來看,重點考查同學們利用“加法和乘法”這兩個原理與“排列數和組合數”這兩個公式解決實際問題的能力。按元素的性質“合理分類”和按事件發生的連續過程“準確分步”,始終是處理計數問題的關鍵所在。

一、構建組合模型求解計數問題的實際應用

1.選人和組數的有關問題。

(1)(2015年上海卷理科)在報名的3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數為____。(結果用數值表示)

(2)(2015年四川卷理科)用數字0,1, 2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有( )。

A.144個 B.120個

C.96個 D.72個

解析:(1)由題意得,任選5人再去掉全選5名女教師的情況即可,-=120。

(2)比40000大的偶數,第一位必為4或5。當第一位為4時,末位有0和2兩種選擇,故有2×4×3×2=48(個)偶數;當第一位為5時,末位有0、2、4三種選擇,故有3×4× 3×2=72(個)偶數。共有120個,選B。

點評:選人與順序無關,可構建組合數的模型計數。注意“含”與“不含”的問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素排除,再從剩下的元素中選取。通常直接分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理。

2.交換、握手問題。

(2012年安徽卷理科)6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換,任意2位同學之間最多交換一次,進行交換的2位同學互贈1份紀念品。已知6位同學之間共進行了13次交換,則收到4份紀念品的同學人數為( )。

A.1或3 B.1或4

C.2或3 D.2或4

解析:設6位同學分別用a,b,c,d,e,f表示。若任意2位同學之間都進行交換,則需要進行C26=15(次)交換,已知共進行了13次交換,說明有2次交換沒有發生,此時可能有兩種情況:

①由3人構成的2次交換,如a→b和a→c之間沒有發生交換,則收到4份紀念品的有b,c2人。

②由4人構成的2次交換,如a→b和c→d之間沒有發生交換,則收到4份紀念品的有a,b,c,d4人。故選D。

點評:交換、握手問題順序確定,構建組合模型計數,注意特殊情況的剔除,如本題中的特殊情況由3人構成的2次交換和由4人構成的2次交換。

3.求二項展開式中某一項的系數。

A.56 B.20 C.-56 D.60

所以x7的系數為(-1)7=-56,因此答案為C。

點評:求二項展開式中某一項的系數,先分析該項的構成,再結合所給式,分析如何得到該項,利用組合知識求解,它源于二項式定理的推導過程。

二、特殊元素或特殊位置的“優先法”

1.特殊元素自然分組。

(2014年廣東卷)從0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9中任取7個不同的數,則這7個數的中位數是6的概率為____。

解析:要使6為取出的7個數中的中位數,則取出的數中必有3個不大于6,另外3個不小于6,將元素按性質分組,合理分類分步計數。從0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9中任取7個不同的數,有C710種方法,若7個數的中位數是6,只需從0, 1,2,3,4,5中選3個,從7,8,9中選3個不同的數即有種方法。

故這7個數的中位數是6的概率為:

點評:依據中位數的意義,將7個元素合理分成2組,凸現合理分類與分步計數算概率的思維方法,它貫穿于排列組合應用問題的始終。

2.特殊位置合理分類。

(2014年四川卷)6個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )。

A.192種 B.216種

C.240種 D.288種

解析:可從甲所在位置入手合理分類,當甲在最左端時,有A55=120(種)排法;當甲不在最左端時,乙必須在最左端,且甲也不在最右端,有=4×24=96(種)排法。共有120+96=216(種)排法。選B。

點評:解決排列組合問題最基本的方法是位置分析法和元素分析法,若以位置為主,首先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置;若以元素為主,先滿足特殊元素的要求,再處理其他元素。對于有限制條件的排列組合問題,可從限制元素(或位置)入手,優先考慮,先分類后分步,設計填空位的模型來求解。

三、相鄰、不相鄰（相離）、不全相鄰問題的處理方法

1.相鄰問題用捆綁法。

2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有2位女生相鄰,則不同排法的種數是( )。

A.60 B.48 C.42 D.36

解法1:從3位女生中任取2人“捆”在一起記作A,則A共有C23·A22=6(種)不同排法,剩下1位女生記作B,2位男生分別記作甲、乙,則男生甲必須在A、B之間(若甲在A、B兩端,則為使A、B不相鄰,只有把男生乙排在A、B之間,此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求),此時共有6×2=12(種)排法(A左B右和A右B左),最后在排好的3個元素形成的4個空隙中選1個插入乙,所以,共有12×4=48(種)不同排法。

解法2:從3位女生中任取2人“捆”在一起記作A(A共有A23種不同排法),剩下1位女生記作B,兩名男生分別記作甲、乙。為使男生甲不在兩端可分三類情況:

第一類:女生A、B在兩端,男生甲、乙在中間,共有6A22A22=24(種)排法;

第二類:“捆綁”A和男生乙在兩端,則中間女生B和男生甲只有1種排法,此時共有6A22=12(種)排法;

第三類:女生B和男生乙在兩端,同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有1種排法,此時共有6=12(種)排法。

排法共有24+12+12=48(種),選B。

點評:對于某些元素要求相鄰的排列問題,先將相鄰的元素“捆綁”起來,看成一個“大”元素與其余元素排列,然后再對“大”元素內部進行排列。對于有限制條件的排列問題,一般先從特殊元素和特殊位置入手,基本解法有直接法和間接法。

2.不相鄰問題用插空法。

(2014年遼寧卷)6把椅子擺成

解析:這是一個元素不相鄰問題,從結果入手設計插空法的模型。先排3個空位(無序),再在3個空位構成的4個空隙中插入坐人的3把椅子,3個人的順序可交換,分步完成,有=24(種),選D。

點評:不相鄰問題用插空法時,一般是先排沒有限制條件的元素,再按要求將不相鄰的元素插入排好的元素之間。

3.不全相鄰問題采用“間接法”。

(2014年北京卷)把5件不同產品擺成一排,產品A與產品B相鄰,且產品A與產品C不相鄰,則不同的擺法有____種。一排,3人隨機就座,任何2人不相鄰的坐法種數為( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析:這是一個不全相鄰問題,采用“間接法”,注意A、B相鄰中含有A、C相鄰的情形。先考慮產品A與B相鄰,把A、B作為一個元素有種方法,而A、B可交換位置,所以有2=48(種)擺法;又當A、B相鄰又滿足A、C相鄰時,有2=12(種)擺法。故滿足條件的擺法有48-12=36(種)。

點評:相鄰問題用“捆綁法”,不相鄰問題用“插空法”,不全相鄰問題常采用“正難則反”的策略,即用“間接法”求解,凸顯“特殊化、模型化和一一對應思想”在計數中的具體應用。對于捆綁法,一般是將必須相鄰的元素看作一個“大元素”,然后再與其余“普通元素”全排列,但不要忘記對“大元素”內的元素進行排列。

四、間接法和列舉法求解錯位排列問題

(1)同室4人各寫1張賀年卡,先集中起來,然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有( )。

A.6種 B.9種

C.11種 D.23種

(2)編號為1、2、3、4、5的5個球放入編號為1、2、3、4、5的5個盒子里,每盒只放1個,至多有2個對號入座的情形有____種。

解析:這兩題分別為4個元素和5個元素的錯位排列問題,用列舉法或間接法求解。

(1)解法1:分類求解,設4人A,B,C,D寫的賀年卡分別是a,b,c,d,當A拿賀年卡b,則B可拿a,c,d中的任何1個,若B拿a,則C拿d,D拿c;若B拿c,則D拿a,C拿d;若B拿d,則C拿a,D拿c。所以A拿b時有3種不同分配方法。同理,A分別拿c, d時也各有3種不同的分配方式。由分類計數原理知,4張賀年卡共有3+3+3=9(種)分配方式。

解法2:分步完成,讓4人A,B,C,D依次拿1張別人送出的賀年卡。如果A先拿有3種,此時寫被A拿走的那張賀年卡的人也有3種不同的取法。接下來,剩下的2個人都各只有1種取法。由分步計數原理可知,4張賀年卡不同的分配方式有:

3×3×1×1=9(種)。

解法3:樹圖列舉法,如果把4個人依次抽取的結果用一個圖表體現出來,就顯得更加清楚。

由圖表可知,共有9種不同結果。

(2)至少或至多問題一般選用間接法。3個球的標號與盒子的標號一致的放法有種,只有4個球的標號與盒子的標號一致的放法沒有,5個球的標號與盒子的標號一致的放法有1種,用排除法,至多有2個對號入座的情形有--1=109(種)。

點評:元素的錯位排列可直接求解,如果某些元素不能排在某些特殊位置上,可先把某個元素按規定排入,再排另外元素,如此繼續下去,借助樹圖列舉法依次即可完成錯位排列的問題。

(責任編輯 徐利杰)