密質骨雙裂紋反平面模型問題復變方法研究

郭東升

（寧夏大學 數學統計學院，寧夏 銀川 750021）

密質骨雙裂紋反平面模型問題復變方法研究

郭東升

（寧夏大學 數學統計學院，寧夏 銀川 750021）

文章構建密質骨雙裂紋反平面模型，通過復變方法求解了該模型問題，并給出了裂紋尖端處應力及應力強度因子的解析表達式。數值算例分析了骨單元與基質的剪切模量比、裂紋尖端處與骨單元中心的距離和裂紋長度對裂紋尖端應力強度因子的影響。

密質骨；復變方法；裂紋；應力強度因子

密質骨是由礦化膠原纖維螺旋環繞哈弗氏管所構成的自然生物復合材料。Ascenzi等[1-2]最早致力于密質骨微結構的力學性質的研究工作，他們通過實驗得到骨單元的彈性模量和強度。張智凌[3]建立包含單個骨單元的骨單元-骨間質兩相模型，應用Abaqus擴展有限元分析程序，分析了黏合線對密質骨微裂紋擴展的影響。王旭[4]運用奇異積分方程方法，研究了骨單位密質骨I型裂紋模型平面問題。以上對密質骨材料的研究方法為實驗方法和積分方程方法。目前對于密質骨反平面裂紋問題的研究較少。

1 問題陳述

將該骨單元結構模型近似為彈性材料，忽略骨單元之間的相互影響。如圖1所示，骨單元周圍充滿基質，在骨單元兩側附近分別存在一條直線裂紋AB和CD，假設骨單元與基質光滑黏結，基質相對于骨單元和裂紋足夠大，在無體積力情況下，該模型在無窮遠處受到反平面剪切力的作用。骨單元半徑為ρ，骨單元的剪切模量為μi，基質的剪切模量為μm。以骨單元中心建立坐標系，裂紋端點分別設為A(a,0)，B(b,0)，C(-a,0)，D(-c,0)。

圖1 密質骨含兩條共線徑向裂紋的骨單元模型

根據疊加原理，該模型問題可分解為A和B兩個問題：問題A為不含骨單元的基質中具有兩條共線的徑向裂紋且在無窮遠處受反平面剪切力的作用；問題B為基質中含有骨單元且在無窮遠處不受反平面剪切力的作用。

2 模型求解

密質骨反平面裂紋問題的彈性平衡方程為[5]

3 數值算例

圖2 不同剪切比下A端應力強度因子與a/ρ的關系曲線(b-a=10 μm)

圖2與圖3分別表示裂紋長度為10 μm和20 μm時，不同剪切比下裂紋A端應力強度因子隨a/ρ增大的變化曲線。觀察圖像可得到如下結果。

（1）當骨單元與基質的剪切模量比介于0與1之間時，滿足該情形剪切模量比的骨為硬質骨，應力強度因子隨a/ρ的增大而減小，且逐漸趨于穩定值。

（2）當骨單元與基質的剪切模量比大于1時，滿足該情形剪切模量比的骨為軟質骨，應力強度因子隨a/ρ的增大而增大，且逐漸趨于穩定值。

（3）當固定裂紋A端增加裂紋長度時，骨單元與基質的剪切模量比介于0與1之間或大于1的情形，曲線的變化趨勢與裂紋長度增加前的變化趨勢相同，區別在于前者情形增加裂紋長度后對應的應力強度因子的值比之前的小，后者情形增加裂紋長度后對應的應力強度因子的值比之前的大。

4 結語

本文通過復變方法求解了密質骨雙裂紋反平面裂紋模型問題，并給出了裂紋尖端A處應力及應力強度因子的解析表達式，數值算例說明裂紋尖端A處的應力強度因子受骨單元與基質的剪切模量比、裂紋尖端A處與骨單元中心的距離和裂紋長度的影響。

圖3 不同剪切比下A端應力強度因子與a/ρ的關系曲線(b-a=20μm)

[1]ASCENZΙA E.Bonucci.The tensile properties of single osteons[J].The Anatom ical Record，1967（4）：375-386.

[2]ASCENZΙ E, BONUCCΙ. The compressive properties of single osteons[J].The Anatom ical Record，1968（3）：377-391.

[3]張智凌.密質骨多級微結構的強韌機理[D].重慶：重慶大學，2014．

[4]王旭.密質骨含微裂紋問題奇異積分方程方法[D].寧夏：寧夏大學，2011．

[5]劉又文，蔣持平.反平面集中力作用下不同材料界面共線裂紋問題[J].應用數學和力學，1900（10）：893-902.

[6]MUSKHELΙSHVΙLΙ N Ι. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity[M]. USA：Springer Science & Business Media，1997.

Research on complex method for inverse problem of BΙ plane crack model of compact bone

Guo Dongsheng
（Mathematics and Statistics School of Ningxia University, Yinchuan 750021, China）

Ιn this paper, the model of the double plane crack of the dense bone is constructed, and the model problem is solved by the complex method, stress at crack tip and the analytic expression of stress intensity factor is given. Numerical example analyzes the influences shear modulus ratio of bone unit to stroma, the distance between the crack tip and the center of bone unit center, and influence the crack tip stress intensity factor on crack tip stress factor.

compact bone; complex method; crack; stress intensity factor

郭東升（1987— ），男，安徽宿州，碩士，研究方向：復分析在力學中的應用。