依托數列教學培養學生的能力

苗金利

依托數列教學培養學生的能力，主要是指抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識。

數列主要內容是數列的概念與表示，數列的通項公式與前n項和。數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學概念。通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立數列的概念，力求使學生在探索中掌握與數列有關的一些基本數量關系，感受數列的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題，進一步感受數列與現實生活的聯系和具體應用。

一、基本量法解決基礎問題，理解性質簡化運算

要引導學生熟練掌握并靈活運用通項公式及前n項和公式是解決數列問題的基礎；抓住首項和公差（或公比），是解決等差（或等比）數列問題的關鍵；靈活運用等差（或公比）數列性質，如：若數列{an}是等差數列，則an=am+（n-m）d）（其中m，nN*），am+an=ap+aq（其中m，nN*，m+n=p+q）是巧解等差（或公比）數列問題的法寶；巧設未知量，是簡化運算的重要途徑，如：若三數成等差數列，設這三個數分別為a-d，a，a+d，若四個數成等差數列，設這四個數分別為a-3d，a-d，a+d，a+3d，可以大大簡化運算。等比數列問題與此類似。

[例1] 數列{an}的各項的倒數組成一個等差數列，若a3=-1，a5=+1，

求a11。

解析：設等差數列為{bn}，公差為d，

bn=，基本量法求出b11，進而a11==

。

學生對數列概念的靈活運用及運算能力，一道題中涉及兩個或兩個以上的數列時，審題需要特別細心，否則會出現失誤，本題中數列{an}并不是等差數列；

[例2] （1）等差數列{an}中，ap=q，aq=p，求ap+q，Sp+q；

（2）一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項之和。

解析：通過本題的解決，熟練掌握基本方法的同時，總結解題技能，簡化解題步驟提高運算能力，同時作為半成品記住結論。

（1）ap+q=0，Sp+q=

（2）S110=-110，特殊與一般的思想本題可以：“如果等差數列的前m項和為n，前n項和為m，那么前m+n項之和為-（m+n）。

二、自始至終貫徹“數列作為一種特殊函數”的思想

函數思想貫穿于高中數學的始終。在其他必修內容中出現的函數基本上是連續函數，本模塊中的數列為學生提供了離散函數模型，將等差數列、等比數列與一次函數、指數函數聯系起來，有助于加深對一次函數、指數函數的認識。同時，教學中要通過列表、圖象、通項公式表示數列，把數列融于函數之中，有助于提升學生對函數思想的理解水平。

[案例]已知函數f（x）=（x-1）2，數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q-1），b3=f（q+1）。

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（2）設數列{cn}對任意自然數n都有an+1=成立，

求c1+c3+c5+…+c2n-1的值；

（3）比較與的大小。

解：（1）{an}為等差，公差為da3-a1=（d+1-1）2-（d-2）2=2d=2

{bn}為等比，公比為q ==

q2q=1（舍）q=3

∴an=2n-2 bn=3n-1

（2）由已知，cn滿足2n=++…+

-2（n-1）=++…++

∴2= ∴cn=2·3n-1 ∴c1+c3+…+

c2n-1=

（3）∵

∴當n=1時“=”；當n≥2時，猜“>”

又∵

∴只需證“n≥2”時，3n>2n+1

（數學歸納法或者二項式定理）

三、要把數列視為反映自然規律的基本數學模型

通過發掘了日常生活中大量實際問題，比如三角形數、正方形數、存款利息、出租車收費、校園網問題、謝賓斯基三角形、斐波那契數列、放射性物質的衰變、商場計算機銷售問題、九連環的智力游戲、購房中的數學等，使學生充分感受到數列是反映現實生活的重要數學工具，體會數學是來源于現實生活并應用于現實生活的， 要強調在具體問題情境中，發現數列的關系，既突出問題意識，也有助于對數學本質的認識，從而提高運用數列模型解決實際問題的能力。

[案例]某市政府投入資金進行環境治理，并以此促進旅游產業發展，據市財政規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入比上年減少，本年度本市旅

游業收入估計400萬元，由于環境治理項目對旅游業的促進作用，預計今后每年旅游業收入會比上年增加。（1）分

別寫出n年內環境治理總投入和旅游業總收入的表達式；（2）至少經過幾年旅游業的總收入才能超過環境治理總投入。

解析：（1）分別設n年內環境治理總投入和旅游業總收入為an，bn，建立數學模型是兩個等比數列的和，{an}首項800，

公比的前n項和；{bn}首項400，公比

的前n項和。an=4000-4000，bn=

1600-1600。

（2）設至少經過n年旅游業的總收入才能超過環境治理總投入，即bn-an>0解得n≥5.即至少經過5年旅游業的總收入才能超過環境治理總投入。

四、重視基本數學思想方法的教學，強調基礎性、綜合型、應用性、創新性

由于數列處在知識交匯點的地位，所蘊含的數學思想方法較為豐富，注意從函數的觀點去看數列，在這種整體的、動態的觀點之下使數列的一些性質顯現得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，方程或方程組的思想也是體現得較為充分的，不少的數學問題均屬這種模式。觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運用在數列這章里得到了充分展示。為學生了解它們各自的作用、相互間的關系并進行初步運用提供了條件。等差數列與等比數列在內容上是完全平行的，包括：定義、性質（等差還是等比）、通項公式、前n項和的公式、兩個數的等差（等比）中項，具體問題里成等差（等比）數列的三個數的設法等。因此在學習時可采用類比方法，以便于弄清它們之間的聯系與區別。

[案例]設隨機變量的分布列如下：

則下列命題正確的序號為

（1） 當{an}為等差數列時，an=

；

（2） 數列的通項公式可能為an=

；

（3）當數列{an}滿足時，an=（n=1，

2，…，9）時，a10=；

（4）當數列{an}滿足P（≤k）=k2ak

（k=1，2，…，10）時，an=。

解析：（1）由于{an}為等差數列性質a5+a6=.正確。

（2）由于an=∈（0，1），

且，因此正確。

（3）當數列{an}滿足an=1-S9=1-

=。

（4）由于及a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2

an-1及a1+a2+a3+…+an=n2an

上述兩個式子相減，得到an=n2an-（n-1）2an-1，n=2，3，…，10

整理可得，n=2，3，…，

10迭乘得。

有由于a1+a2+…+a10=1，從而an=

。

（作者單位：北京四中）

責任編輯：肖佳曉

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