益智課堂，數學核心素養踐行之地

李清霞+孫欣

核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。作為學科核心素養之一的數學核心素養，是指具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力，而數學思維是數學核心素養的重要組成部分。學生數學核心素養的培育能否落實，思維能力能否得到提升，關鍵在于課堂教學。

基于此，中國教育科學研究院“益智課堂與思考力培養的實踐研究”課題組進行了相關探索。益智課堂有其優勢和鮮明特點，它以學生充分的動手操作為依托，以真實、有趣的問題困境為起點，以益智器具為載體，通過多樣性的探究活動，讓學生積累思維經驗，掌握思維技能，提升思維品質，也是發展學生數學核心素養的途徑之一。本文以“漢諾塔”活動課為例，主要探析課堂教學中如何培養學生的思維能力，促進數學核心素養的提升。

一、優化任務，培養數學表征能力

器具“漢諾塔”由8個環片按大小依次疊放在有三根立柱的支架上，因形如塔狀而得名，主要解決這一問題困境：在一次只能移動一個環片、大環不能壓在小環上的操作規則中，如何借助b柱（過渡柱），把a柱（起始柱）的環片依次挪移到c柱（目標柱）上（見圖1）。如果教師在課堂中僅要求學生按照規則練習操作，益智課堂的器具就只能停留在“玩具”層面，課堂也停留在“游戲”層面。那么如何將游戲轉向思維訓練活動？

本課例在學生已能熟練操作器具的基礎上，將訓練目標聚焦在優化操作任務上，使學生思維由混沌狀態向頭腦的心理操作轉化，增強思考的邏輯性，鍛煉、掌握多種思維技能。因此，教師需要對操作要求提出限定，用表格形式引導學生思考，表格問題要突出其思考和探索的要點，明晰各環節間的關聯及所蘊含的可能性規律（見表1）。

首先，教師要將問題聚焦于不同的環數“完成操作最少用幾步”，將學生的思維焦點轉向“尋找行動最有效的序列”，優化移動步驟，此為益智課堂倡導的目標之一。其次，啟發學生思考“第一環移到哪個柱上”更助于實現最優步驟，從1～8環分別探究，重點突出假設、檢驗、推理、判斷、提煉、概括等思維技能訓練。表格的使用，也為后續發現規律提供有邏輯的數據支持，利于培養學生的數學表征

能力。

數學表征能力指的是使用符號、文字、圖表、公示、模型等形式以及數學結構化的方式對數學核心概念、數學關系、數學問題進行關聯式表達，使數學知識與數學問題之間建立一種映射，使復雜的問題變得簡單、煩瑣的形式得以簡化的能力。作為理解數學的一個教學手段，它有助于學生理解概念、關系或關聯，形象地觀察學習對象，更有興趣地深入思考與探索，并體會數學表征是進行數學理解、交流和分析的工具。

二、動手操作，關注數學推理能力

數學推理是從數和形的角度對事物進行歸納類比、判斷、證明的過程，是數學發現的重要途徑，也是幫助學生理解數學抽象性的有效工具。數學推理能力是通過對數學問題、數學對象、數學現象的觀察、分析、實驗、驗證、歸納、演繹等做出新的推論，并在此過程中證明推論的合理性的能力[1]。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，學生應“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。其中，合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算等思維形式。

探究過程中，教師可引導學生從1個環片開始嘗試。由于環數少，難度小，學生很快就能發現所用最少步數和移動位置。比如，移動1個環片，最少用1步，第一環移到目標柱上；移動2個環片，最少用3步，第一環移到過渡柱上。在移動3環前，教師可提出問題：“如果不進行操作，你是否知道第一環移到哪個柱上？”這里教師創設了問題情境，引導學生嘗試推理。推理過程也是論證過程，主要是依據前面2環的移動步驟，學生通過分析得出：3環要想移到目標柱上，1環和2環就得“讓路”，將2環移到過渡柱上，1環移到目標柱上。這一過程，教師要對學生的回答進行糾正和提煉，幫助他們規范數學表達，進一步培養學生推理論證的嚴密性和條理性。

現代教育論強調“要讓學生做科學，而不是用耳朵去聽科學”。因此，教師還可組織學生通過操作來檢驗猜想。在移動4環時，教師讓學生先推理第一環移到哪個柱上，最少用多少步，然后操作器具進行驗證，并分組驗證不同移動方式的結果，讓學生體會、檢驗推理的過程，從中體悟數學推理過程。

三、發現規律，增強數學建模能力

模型思想是小學數學學習的十大核心概念之一，此階段中的數學模型表現形式為一系列的概念、算法、關系、定律、公式等。參照《義務教育數學課程標準（2011年版）》的相關內容，可將建模過程簡化為三個環節。

首先，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，發現和提出問題，這是數學建模的起點。“完成操作最少用幾步”的目標有規律性但又較為隱蔽，在移動5個環片時，教師可要求學生不動手操作，僅根據列表從1～4環的最少步數情況找出規律（見表2）：第一環應移到哪個柱，完成操作最少用幾步。此問題難度適中，提供了較為清晰的數學信息，可讓學生運用已有數學知識，發現規律，增強其數學建模能力。

其次，用數學符號建立方程、不等式、函數等，表示數學問題中的數量關系和變化規律。學生可通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，完成模式抽象，建立數學模型。教師引導學生觀察、思考單雙數環時，第一環的移動位置和最少步數與環片的關系，正是捕捉具有建模意義、可操作的數學信息的過程。通過思考和體驗，他們可以歸納其中的規律，抽象出數學結構：單數環時，第一環移到目標柱，雙數環時，第一環移到過渡柱，并推算出完成5環操作最少用31（15×2+1）步。

最后，通過模型求出結果，并討論結果的意義。將移動5環時發現的規律運用到6～8環的第一環移動位置及最少移動步數推算上，從一個問題的解決中總結概括出一類問題解決的數學模型，此為引導學生發現規律、培養數學建模能力的重要意義。

四、啟發思考，提高數學交流與

表達能力

學生的思維具有內隱性，讓思維看得見、摸得著的一種重要方式就是數學表達。數學交流與表達能力是學生將自己理解和掌握的數學知識、方法、策略、思想通過口頭或書面的方式呈現出來的能力。其培養與發展的關鍵在于教師的課堂提問和追問藝術，如果問題起點低、教師表述不明等，容易縮小思考空間或無法聚焦問題核心，很難激發學生的深入思考。

有效的核心問題應該是：（1）包含學習者容易理解的措辭；（2）陳述簡單，問題中沒有混雜額外的問題或說明；（3）讓學生關注課堂內容；（4）確定學生回答問題時將會用到的單個思維操作[2]。因此，當學生移動3個環發現最少用7步才能達到目標柱時，教師可這樣提問：“怎么判斷移動3個環片用7步就是最少的步驟？”這一問題簡單明確，關鍵詞“判斷”是學生需要執行的思維操作，主干內容“用7步就是最少的步驟”直接服務于思維訓練目標，疑問詞“怎么”顯示出問題的開放性，這能讓學生圍繞本課訓練目標與教師進行更多的數學交流與表達。

對學生的回答進行加工，再提出新的問題，即加工性問題，可促進學習者反思自己的初始回答，理解隱藏在表面觀點背后的思想問題，激勵其更全面地理解課堂內容，構建更完善的認知操作。例如，學生再次演示移動3個環片并回答：操作時發現有的步驟多，然后刪掉了某些步驟。可以看出，學生是通過嘗試操作—調整優化—達到目標的路徑完成的，并未注意到優化步驟過程中的關鍵點。這時教師可提出限定焦點的加工性問題：“以最少步驟移出的關鍵環節是什么？”其中，關鍵詞“最少步驟”“關鍵環節”對學生的思維進行聚焦和提升，可將其回答導向更高的

層次。

在有效問題的激發下，學生才能進行更深入的思考，做出更高水平的回答，促進其數學理解與數學思維的發展，進一步完善思維訓練活動中的認知結構。

五、凸顯思想，培養解決問題的能力

數學思想是人們對數學理論與內容的本質認識，直接支配著數學的實踐活動。益智課堂倡導教師不僅要重視學生對顯性知識、技能的學習和訓練，還應注重數學思想的指導，從而培養學生解決問題的能力。“漢諾塔”教學活動中，教師可挖掘三種數學思想，并在恰當時機進行點撥。

其一，倒推思想。它是從結果出發倒過來推想的一種思想，也是解決問題常用的一種策略，其中涉及分析、選擇、判斷、對比等一系列思維活動。比如，推算完成5環的最少步數，可引導學生進行倒推：最后1環要移到目標柱，前4環要先移到過渡柱再移到目標柱，已知移4環到目標柱最少要15步，那么由此推算完成5環的操作最少需要31步（15×2+1）。

其二，轉化思想。它是通過觀察、類比、聯想等思維過程，將原問題轉化為一個新問題的求解，以達到解決原問題的目的。比如，活動伊始，起始柱、過渡柱、目標柱是固定的，但隨著環片數目的增多，每一環的目標柱、過渡柱都會發生轉化，且在不同的移動步驟中，每一環的目標柱、過渡柱也在隨時轉化。用這樣的認識來看待操作過程，當移動環片較多時，運用總結出的規律，易于把較復雜問題變成簡單問題，把新問題變成已解決的

問題。

其三，遞歸思想。在數學教學實踐中，數學思想與數學方法關系密切，思想指導方法，方法滲透思想。例如，教師在總結5環的移動步數時，引導學生發現操作中要“看5環想4環”“看4環想3環”……這正是遞歸思想的體現，呈現出依次類推、“用同樣步驟重復”的方法，讓學生既獲得思想上的認識，也得到方法上的指導。

總之，數學核心素養是在學生體驗數學情境、經歷數學活動、感悟數學思考的過程中產生的，而以益智器具的問題困境為思考起點，以操作探究為活動方式的益智課堂教學，是培養和發展學生數學核心素養的一個有效方法。

當然，隨著本研究的進一步探索，有關學生核心素養及學生思維能力的認識和實踐會有所深入，對益智課堂的教學策略和方法也會進行修正和創新，使之更加完善，以期讓益智課堂成為培育和提升學生數學核心素養更為有效的一個場所。

參考文獻：

[1]徐斌艷.數學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（6）.

[2]Marylou Dantonio，Paul C. Beisenherz著.宋玲譯.課堂提問的藝術—發展教師的有效提問技能[M].北京：中國輕工業出版社，2006：7.

（作者單位：1.中國教育科學研究院 2.黑龍江省哈爾濱市鐵嶺小學）

責任編輯：孫建輝

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