淺談微元法在單棒切割中的運用

欒云琦

摘要：在高中階段，學習方法至關重要，是學生取得高效學習的一把鑰匙，特別是在高中理科的各學科中，物理學科是相對較難學習的學科，很多學過高中物理的同學，總有這樣的疑問：“上課聽得懂，聽得清，就是在課下做題時不會。”這是個普遍的問題，特別值得同學們認真研究。本文對高中物理的學習方法，特別是對微元法進行了有益的探索。

關鍵詞：高中物理；學習方法；微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，使用微元法可以將復雜的物理過程簡單化。在單棒切割這種集磁場學、力學、運動學等為一體的模型中，更能體現它的微妙作用。接下來以兩例題來說明。

[例1]如圖所示，兩平行且無限長光滑金屬導軌MN、PQ與水平面的夾角θ=30°，兩導軌之間的距離為L=1m，兩導軌M、P之間接入電阻R=0.2Ω的定值電阻，導軌電阻不計，在abcd區域內有一個方向垂直于兩導軌平面向下的磁場Ⅰ，磁感應強度B0=1T。磁場的寬度x1=1m，在cd連線以下區域有一個方向也垂直于導軌平面向下的磁場Ⅱ，磁感應強度B1=0.5T。一個質量為m=1kg的金屬棒垂直放在金屬導軌上，與導軌接觸良好，金屬棒的電阻r=0.2Ω，若金屬棒在離ab連線上端x0處自由釋放，則金屬棒進入磁場Ⅰ恰好做勻速直線運動。金屬棒進入磁場Ⅱ后，經過ef時系統達到穩定狀態，cd與ef之間的距離x2=8m（g取10m/s?）。

（1）求金屬棒從開始靜止到磁場Ⅱ中達到穩定狀態這段時間中電阻R產生的熱量QR。

（2）求金屬棒從開始靜止到在磁場Ⅱ中達到穩定狀態所經過的時間t。

解析：

本題題干較長，涉及多個運動階段及物理量，必須要有清晰的思路和縝密的推導。針對本題，主要解題思路就是分階段討論，將每一階段金屬棒受力情況、運動狀態都分析清楚，最后總體把握物體的運動。

本題第⑴問比較簡單，主要考查學生對基礎知識的靈活運用；第⑵問難度比較大，主要考查學生對數學與物理知識的綜合運用。

（1）區域Ⅰ中穩定狀態受力分析（如圖區域Ⅰ）：

mg

區域Ⅰ 區域Ⅱ

mgsinθ=B0IL①

②

①②聯立得

v1=2m/s

區域Ⅱ中穩定狀態受力分析（如圖區域Ⅱ）：

mgsinθ=B1IL ③

④

③④聯立得

v2=8m/s

求解電熱或用電熱公式 或用能量守恒，本題中熱量的產生涉及多個運動狀態，I、U、t均為待求量，用電熱公式未免舍近求遠，故運用能量守恒原理運算，用動能定理對電路中產生的總熱量進行求解。

= mgsinθ（x1+x2）-Q ⑤

Q=15J

本題需要求解的是定值電阻產生的熱量而不是總電路產生的熱量，根據定值電阻與總電阻之間關系易得

QR= Q=7.5J

（2）求動力時間，要把運動分成三部分：第一部分是勻加速直線運動，根據運動學公式和受力分析易得：

v1=at1 ⑥

ma=mgsinθ⑦

⑥⑦聯立得

t1=0.4s

第二部分是勻速運動，由第（1）問，得

v1=2m/s

第一、二部分的時間都容易求得，考查學生能力的就是第三部分時間求解。

一般來說，單棒切割中求解時間與速度的關系，電學中很少有涉及時間的公式（W=Pt Q=Pt=I2Rt= t），此情境中均不適用，所以我們要另尋它路。分析題中的已知量及其特點，重力為恒力，棘手的是與速度變化有關的安培力，此力的時刻變化往往使學生思路盡失。然而正是與速度有關、時刻變化這兩個特點，再加之與題中所求量時間的聯想推理使思路豁然開朗。

運用動量定理

（mgsinθ-

⑨⑩兩式聯立化簡得

mgsinθt3 - = mv2-mv1

公式中有v與t3兩個未知量，且v是一個時刻發生變化的量，我們很難通過運動學規律求出變化公式，這時就要通過微元法來求解。我們可以聯想到在v-t圖象中，物體通過的位移是圖象與x軸所圍成圖形的面積，所以盡管v是一個變量，vt3=x2總是成立的。

將vt3=x2代入，有

解得t3=2.2s

t總=t1+t2+t3=3.1s

[例2]如圖（甲）所示，左側接有定值電阻R=2Ω的水平粗糙導軌處于垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應強度B=1T，導軌間距為L=1m。一質量m=2kg，阻值r=2Ω的金屬棒在拉力F作用下由靜止開始從CD處沿導軌向右加速運動，金屬棒的v—x圖象如圖乙所示，若金屬棒與導軌間動摩擦因數μ=0.25，則從起點發生s=1m位移的過程中（g=10m/s2）。

A.金屬棒克服安培力做的功W1=0.25

B.金屬棒克服摩擦力做的功W2=5J

C.整個系統產生的總熱量Q=5.5J

D.拉力做的功W=9.25J

A項

微元法：通過

F1=BIL②

W1= F1x③

①②③聯立得

待解式中有2個未知量，根據解題思路中“化多變為不變”的原則，再根據已給的v—x圖象，容易得出從起點發生x=1m的過程中v與x的乘積即為圖象與x軸圍成的面積。

B項

考查的問題比較基礎，摩擦力為恒力，根據W=Fx易得

W2=μmgx=5J

C項

整個系統產生的熱量即為金屬棒克服摩擦力做的功與克服安培力做的功之和

Q= W1+ W2=5.25J

D項

由于只知道拉力F的方向，根據受力分析等方法都不易得出拉力F的變化情況，所以用動能定理進行求解：

mv?-0=- W2- W1+W

得 W=9.25J

由以上兩道例題我們得到啟示：在單棒切割的題目中，如出現多個未知量難以求解的情況，可嘗試使用微元法，化多變為不變，化未知為已知，使解答簡便順暢。高中物理題型題容量大，通常涉及幾大版面的知識，如例1題設即涵蓋運動學、力學、電學、磁場學的知識，所以掌握必要的解題手段是十分有意義的，微元法就是十分有效的手段之一。通過借鑒數學中的積分思想，并將其運用到解決物理問題上，從而形成在實際物理問題中有極大意義的微元法，不僅能夠令各種物理量之間繁雜的相互關系變得一目了然，還可使運用最基本的公式來解決復雜繁瑣的物理題，是中學生必備的解題技能之一。