數學邏輯推理問題幾種特殊方法的探討

畢育舜

數學邏輯推理是我們進入數學天地的一個行之有效的途徑。認識了這個途徑，就打開了學習的大門。

一、通過邏輯關系推理

解答有些推理判斷題，必須抓住關鍵語句，才能理清隱藏在題目中的邏輯關系。

例：張、王、李三位同學各任音樂、體育、美術一門課代表，已知張不是美術課代表，李不是美術、音樂課代表，他們三人各是什么課代表？

分析求解：由“李不是美術、音樂課代表”推知，李是體育課代表，由“張不是美術課代表”推知，張是音樂課代表，剩下的王必定是美術課代表。

二、抓住關聯詞語推理

抓住推理判斷題中的關聯詞語，是解決問題的突破口。

例：甲、乙、丙三個朋友中，一個是工程師，一個是醫生，一個是飛行員。已知，甲和醫生不同歲，醫生比乙年歲小，丙比飛行員的年歲大。試判斷誰是工程師，誰是醫生，誰是飛行員？

分析求解：由“甲和醫生不同歲，醫生比乙年歲小”推知，丙是醫生。再由“醫生比乙年歲小，丙（醫生）比飛行員的年歲大”，即“乙比醫生年歲大，丙（醫生）比飛行員年歲大”推知，乙者不是飛行員而是工程師，剩下甲必是飛行員。

三、借助圖表推理

關系比較復雜的單純邏輯推理題，可借助圖表推理。

例：編號為1號、2號、3號、4號的四人同場競技獲得100米比賽前四名。老師問他們每個人的名次，1號答：“3號在我的前面沖向終點?！鲍@第三名者回答：“1號不是第四名。”裁判員告訴班主任老師說：“他們的號碼與各自的名次都不相同。”

分析求解：畫出表格。由1號和3號的回答可知，1號不是第三名、第四名，而是第二名，3號是第一名，將結果在表格中標注出來。由裁判員的話可知，剩下的2號是第四名，4號是第三名，將結果在表格中標注出來。

四、排除法推理

（一）抓住關鍵語句，從正面排除推理。對于一些能從正面排除的判斷題，可抓住關鍵語句排除推理。

例：甲、乙、丙三人，一個是工人，一個是農民，一個是商人。已知丙的年齡比農民大，甲與商人的年齡不同，商人的年齡比乙小，試判斷每個人的身份。

分析求解：由語句“甲與商人的年齡不同，商人的年齡比乙小”排除甲、乙，確定丙是商人。再由“丙（商人）的年齡比農民大，商人的年齡比乙小”，即“商人的年齡比農民大，乙比商人的年齡大”排除乙是農民，而甲是農民。于是，剩下的乙必定是工人。

（二）抓住關鍵語句，從問題的反面排除推理。對于一些不容易從正面排除的判斷題，可抓住關鍵語句從反面排除推理。

例：一個正方體木塊的六個面上分別標注1、2、3、4、5、6，小明從三個不同的角度觀察，畫出了它的三幅立體圖形。試判斷，該正方體木塊上哪兩個數字標注在相對的面上？

分析求解：解題的關鍵是抓住某兩個圖中有相同字母的面進行排除推理。由甲、乙兩圖可知，與3相對的數不是1、2、4、5，只能是6；由甲、丙兩圖可知，與1相對的數不是2、3、4、6，只能是5；剩下的2與4相對。

五、假設法推理

（一）抓住關鍵語句假設推理

對于某些容易從正面假設推理的推理判斷題，可抓住關鍵語句，正面假設推理。

例：甲、乙、丙三人分別出生在北京、上海和南京，其中一人喜歡數學，一人喜歡物理，一人喜歡生物。還知道：（1）甲不喜歡數學，乙不喜歡生物；（2）喜歡數學的不在上海出生；（3）喜歡生物的出生在北京；（4）乙不在南京出生。試判斷三人的愛好和出生地。

分析求解：由（1）推知乙者或丙者喜歡數學，甲者或丙者喜歡生物；若乙者喜歡數學，則丙者喜歡生物，甲者喜歡物理；由（3）推知丙者生在北京，再由（2）知，乙生在南京，這與（4）相矛盾。若丙者喜歡數學，則由（1）知，甲者喜歡生物，乙者喜歡物理；由（3）知，甲生在北京，丙在南京，乙生在上海，與（4）不矛盾。

答：甲愛好生物，生在北京；乙愛好物理，生在上海；丙愛好數

（二）在綜合分析中假設推理

對于不容易直接假設推理的判斷題，可在綜合分析中假設推理。

例：A、B、C、D四人是學友，分別獲得數學、英語、語文和體育學科的嘉獎，但每個人都不知道自己獲獎的是哪一個學科。他們互相猜測：A說：“D獲體育獎。”B說：“C獲英語獎?！盋說：“A得不到數學獎?！盌說：“B獲語文獎?！弊罱K結果，數學、體育兩個學科的獲獎猜測是對的，而其他兩人都猜錯了。試判斷每個人獲獎的學科。

分析求解：解答本題的關鍵是，要反復利用“數學、體育兩個學科的獲獎猜測是對的，而其他兩人都猜錯了。”這一輔助條件，并且注意要不時地比對前后結論。

假設A猜對了，D獲體育獎，獲體育獎的D猜對了，B獲語文獎。并且由A猜對、D猜對可知，B猜錯、C猜錯。由B錯可知，C沒獲英語獎，對照前面情況，推出C獲數學獎，A只好獲剩下的英語獎，這說明C猜的“A得不到數學獎。”是對的，這與前面“C錯”的結論相矛盾。因此A猜錯。

再假設D沒獲得體育獎，同時由題意知猜錯者A得不到數學獎和體育獎。由“A得不到數學獎”說明C猜對了，且猜對者C得到數學獎或體育獎。若C獲得數學獎，則B猜錯了，猜錯者B只能獲語文獎或英語獎；由“B獲語文獎”推出D猜對了，即B獲語文獎；由“B獲語文獎”和假設“A得不到數學獎和體育獎”推出，A獲英語獎。于是再由前面的“D沒獲得體育獎”和“C得到數學獎或體育獎”推出D獲數學獎，C一定獲體育獎。

總之，掌握了數學邏輯推理的方法，就能夠學好數學。

參考文獻：

[1]張寶興.幾種邏輯推理方法的運用.小學教學研究，1986（10）

[2]劉紅霞.數學學習中的邏輯推理.新高考，2016