關(guān)于高等數(shù)學(xué)極限部分教學(xué)的幾點(diǎn)改進(jìn)

趙文雯

極限既是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中接觸的第一個(gè)和初高中掌握的概念形式不同的知識(shí)點(diǎn)。如果極限的概念和應(yīng)用掌握不好，一方面對(duì)于后續(xù)的導(dǎo)數(shù)、積分等概念難以理解，還極易產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。本文根據(jù)極限部分知識(shí)特點(diǎn)，針對(duì)極限概念引入及極限求解等方面給出了相關(guān)的教學(xué)改進(jìn)建議，以達(dá)到引起學(xué)生興趣，便于學(xué)生理解和應(yīng)用的目的。

高等數(shù)學(xué)是指相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對(duì)象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡

極限作為高等數(shù)學(xué)中最先引入的知識(shí)點(diǎn)，既是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，如果極限的概念和應(yīng)用掌握不好。一方面對(duì)于后續(xù)的導(dǎo)數(shù)、積分等概念難以理解，還極易產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。同時(shí)，除本科數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)分析課程外，很多學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的專業(yè)并非數(shù)學(xué)類專業(yè)，因此學(xué)生本身的不重視加上課程有一定難度，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致學(xué)生成績(jī)不理想的結(jié)果，因此對(duì)于高等數(shù)學(xué)基本概念，極限的引入與展開(kāi)是一個(gè)值得深入探索的課題。

我國(guó)高校高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平各不相同，根據(jù)以往的研究發(fā)現(xiàn)，目前在高等數(shù)學(xué)課程的開(kāi)設(shè)方面，仍然存在著許多問(wèn)題，就課程的內(nèi)容而言，高等數(shù)學(xué)課堂上教師在教學(xué)中向?qū)W生灌輸大量的“定義、定理、推導(dǎo)、證明、計(jì)算”等，而對(duì)于概念的深入思考卻十分欠缺，導(dǎo)致概念與習(xí)題不能有效的對(duì)接，學(xué)生忽略對(duì)于理論本身的理解，進(jìn)而在遇到更復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)時(shí)難以掌握，只能靠硬背來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。據(jù)此，本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中遇到的問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出如下三方面的教學(xué)改進(jìn)方案。

多角度詮釋極限的概念

極限在高等數(shù)學(xué)中的定義與在中學(xué)階段的“趨近于”之類描述是有差別的，學(xué)生第一次接觸用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的極限定義，對(duì)于此類定義的理解有一定困難，因此在講授過(guò)程中重復(fù)性的強(qiáng)調(diào)是必須的，但單純的重復(fù)容易引起學(xué)生的厭學(xué)心理，因此需要從極限定義人手，除了書(shū)本上經(jīng)常出現(xiàn)的以數(shù)軸為基礎(chǔ)的幾何描述方式外，積極探索不同角度的描述該概念的方法，讓同學(xué)們可以根據(jù)自己的思維方式選擇某一個(gè)角度對(duì)極限概念進(jìn)行理解。

事實(shí)上，一直以來(lái)同學(xué)們對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)，遠(yuǎn)多于對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)，因此可以考慮將數(shù)列看做定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，在二維平面中表示出數(shù)列，以體現(xiàn)極限定義的趨近效果，而非單純從一個(gè)數(shù)軸上進(jìn)行幾何方面的觀察。如圖1中，以xn=1/n為例。

當(dāng)用圖1中函數(shù)形式表示數(shù)列極限時(shí)，和同學(xué)們一直以來(lái)常見(jiàn)的圖像表示函數(shù)的視覺(jué)效果類似，通過(guò)實(shí)踐表明，很大一部分同學(xué)對(duì)該圖示的理解效果比對(duì)數(shù)軸形式的幾何描述理解效果更好。同時(shí)，在數(shù)列極限之后講解函數(shù)極限時(shí)，將圖1中的點(diǎn)直接連起來(lái)即可，兩個(gè)概念從圖像上看相關(guān)性更強(qiáng)，不會(huì)有脫節(jié)的感覺(jué)，同學(xué)們學(xué)習(xí)起來(lái)也更加流暢。

注重結(jié)論在實(shí)踐問(wèn)題中的應(yīng)用

生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)離不開(kāi)生活，數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活而高于生活，最終服務(wù)于生活。數(shù)學(xué)就是人們用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段之一。在極限教學(xué)中，很多我們最早用來(lái)引出的極限的實(shí)例，其實(shí)通過(guò)后續(xù)的學(xué)習(xí)都是可以驗(yàn)證的，只是教材上沒(méi)有體現(xiàn)，很多老師在講授的過(guò)程中也并沒(méi)有在意。同學(xué)們學(xué)習(xí)的過(guò)程中如果不能帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)，學(xué)過(guò)了一些結(jié)論，不能用來(lái)解釋心中的問(wèn)題，那么這種填鴨式教學(xué)，最終的教學(xué)效果也很難保證。因此在教學(xué)過(guò)程中如果可以積極的探索各個(gè)結(jié)論之間的相互印證，發(fā)現(xiàn)其中教材上并未體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程也會(huì)經(jīng)常遇到驚喜，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，刺激學(xué)生主動(dòng)思考。

舉例來(lái)說(shuō)，在學(xué)過(guò)第一個(gè)重要極限之時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)該極限與正弦函數(shù)有關(guān)，并且該極限的證明過(guò)程借助了圓形，在這樣的背景下，實(shí)際上可以借助第一重要極限反過(guò)來(lái)證明正多邊形趨近于圓，可以通過(guò)對(duì)圓的內(nèi)接正n邊形面積求極限，驗(yàn)證該面積趨近于圓的面積；也可以通過(guò)對(duì)圓的內(nèi)接正n邊行周長(zhǎng)求極限，驗(yàn)證周長(zhǎng)趨近于圓的周長(zhǎng)；具體推導(dǎo)過(guò)程在借助第二重要極限的基礎(chǔ)上并不困難，不在此贅述。事實(shí)上，在進(jìn)行了上述求解后，還可以提出問(wèn)題：周長(zhǎng)相等、面積相等的兩個(gè)平面圖形就是一樣的嗎？以此來(lái)引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而對(duì)此問(wèn)題最直接的解釋就是：周長(zhǎng)相等的平面圖形，圓形的面積最大。

四、綜合整理極限的各種求解方式

在學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)第一章時(shí)，最重要的考點(diǎn)就是求極限。而求極限問(wèn)題情況多變，方法多樣。在教學(xué)中需要積極尋求有規(guī)律的求解思路，根據(jù)不同類型題目總結(jié)各種方法對(duì)應(yīng)的類型題目，綜合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的講解。為后期學(xué)習(xí)其他求極限方法做鋪墊。

通過(guò)對(duì)求極限方法與各類情況的初步總結(jié)，可暫時(shí)給出如下思路步驟：

1）直接將趨勢(shì)代入。當(dāng)極限值為以下情況時(shí)可以直接得到結(jié)果：O，c，C/O，O/C，c/∞，∞/c，∞（其中c為非零常數(shù)）；

2）如果代入后不能得到以上形式的結(jié)果，則需要進(jìn)行整理，常用手段如下：

①O/O型：約分、有理化、等價(jià)無(wú)窮小。

②∞/∞型：抓大頭法、同除xa。

③冪指函數(shù)：第二個(gè)重要極限。

④數(shù)列形式：求和公式、分解抵消、夾逼準(zhǔn)則。

⑤其他形式：多個(gè)項(xiàng)相加減時(shí)嘗試通分。

3）利用第二步中的常用技巧處理原問(wèn)題后再重復(fù)第一部代入嘗試求解，如果不可行，再繼續(xù)第二部，直到得到最終結(jié)果。

以上求解步驟隨著高等數(shù)學(xué)后續(xù)深入學(xué)習(xí)，還會(huì)有其他方法加入進(jìn)來(lái)，在此框架下，當(dāng)遇到其他求解方法時(shí)只要加入以上步驟即可，學(xué)生最終復(fù)習(xí)時(shí)可以作為統(tǒng)一的求解思路，指導(dǎo)自己進(jìn)行求極限的復(fù)習(xí)。

綜上所述，極限作為高等數(shù)學(xué)的第一部分，其引入與講授對(duì)于學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是尤為重要的。因此本著培養(yǎng)實(shí)踐型人才的理念，在單一的傳統(tǒng)教學(xué)方式下進(jìn)行教學(xué)上的創(chuàng)新，以極限的概念為切入點(diǎn)，尋求一些促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，打好高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的教學(xué)改進(jìn)方法是很有意義的，并且是十分必要的。

本文初步給出了三種教學(xué)改進(jìn)方法，并給出了具體的例子及總結(jié)。通過(guò)對(duì)極限的概念多角度的詮釋，使得學(xué)生初學(xué)高等數(shù)學(xué)時(shí)容易接受，并養(yǎng)成開(kāi)拓思維；通過(guò)與實(shí)踐問(wèn)題的結(jié)合，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用更加靈活，理解更加深刻；通過(guò)對(duì)求極限方式的總結(jié)，使得學(xué)生對(duì)求極限的方法建立具體的框架，方便對(duì)題目的處理，并養(yǎng)成總結(jié)歸納的思維習(xí)慣。作者日后也將繼續(xù)深入研究對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的其他改進(jìn)方式。