碳纖維增強復合材料加固中心孔鋼板綜合優化

伍希志 程軍圣

1.中南林業科技大學交通運輸與物流學院，長沙,4100822.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙,410082

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碳纖維增強復合材料加固中心孔鋼板綜合優化

伍希志1程軍圣2

1.中南林業科技大學交通運輸與物流學院，長沙,4100822.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙,410082

采用多級優化方法對碳纖維增強復合材料加固中心孔鋼板進行優化設計，首先，采用拉丁超立方方法選取試驗樣本點，利用移動最小二乘法擬合近似代理模型，在代理模型基礎上采用自適應響應面優化方法優化基本鋪層厚度；然后，結合復合材料制造約束條件，利用Optistruct對鋪層順序進行優化，得到最佳鋪層設計方案。經過多級優化設計后，鋼板中心孔處應力分布更合理，最大Mises應力減小了56.6%。

碳纖維增強復合材料；拉丁超立方；移動最小二乘法；自適應響應面；鋪層順序優化

0 引言

碳纖維增強復合材料(carbon fiber reinforced polymer,CFRP)具有比強度和比剛度高、可設計性好、防腐蝕等優點，在裂紋結構修復中已得到廣泛研究和應用[1-4]。伍希志等[5]采用止裂孔和CFRP加固聯合方法修復裂紋鋼板，不僅減小了缺口鋼板的名義應力，而且降低了疲勞缺口敏感度，使得疲勞壽命比缺口鋼板疲勞壽命提高292倍。對于簡單單向拉伸裂紋鋼板的修復，復合材料鋪層設計比較容易確定，而實際結構中鋼板的受力方向是多向的，對于受力復雜的裂紋鋼板的修復，復合材料層合板的鋪層設計非常復雜。目前國內外已有學者對復合材料鋪層優化進行了研究，如修英姝等[6]、TUAN等[7]、NAN等[8]分別采用神經網絡法確定復合材料層合板規定角度下的鋪層數,并采用遺傳算法優化這種鋪層結構下的鋪層順序。唐文艷等[9]、ALMEIDA等[10]、金達鋒等[11]以臨界屈曲載荷最大為目標，采用遺傳算法對復合材料層合板的鋪層順序進行了優化設計。這些方法具有全局收斂、無需可微性等優點，但在結構優化中需要迭代多次，每次迭代都需要調用有限元計算，使得優化效率較低[12]。本文采用多級優化方法對CFRP加固中心孔鋼板進行優化設計：首先采用移動最小二乘法(moving least squares)擬合鋼板中心孔最大Mises應力的近似代理模型，在代理模型基礎上采用自適應響應面優化方法(adaptive response surface method,ARSM)優化復合材料的基本鋪層厚度，優化過程中不需要進行有限元計算，提高了優化效率；然后利用Optistruct對鋪層順序進行優化，得到最佳鋪層設計方案。

1 問題提出

由于復合材料層合板具有各向異性，即纖維方向的彈性模量和強度遠大于橫向的彈性模量和強度，因此在復合材料加固中心孔鋼板中，為了獲得更好的修復效果，需要對復合材料鋪層進行優化設計，包括基本鋪層的鋪層厚度和鋪層順序。

基本鋪層的鋪層厚度優化是以基本鋪層的鋪層厚度為設計變量，在滿足鋼板中心孔處最大Mises應力σ0約束條件下使復合材料總厚度最小。設T={t1，t2，…，tn},ti(i=1,2,…,n)為基本鋪層i的鋪層厚度，則鋪層厚度優化問題的數學模型可表示為

(1)

式中，f(X)為鋼板中心孔處最大Mises應力；t為復合材料總厚度;ai為單層最大厚度。

鋪層順序優化的數學模型可表示為

(2)式中，f(Y)為鋼板中心孔處最大Mises應力；gi(Y)為鋪層約束條件；Y為各鋪層的排列；A為所有鋪層排列的集合。

2 優化算法

針對CFRP加固中心孔鋼板的鋪層優化問題，本文采用一種多級優化方法來優化鋪層厚度和鋪層順序，優化流程如圖1所示，首先利用ABAQUS建立CFRP加固中心孔鋼板的有限元參數模型；然后依據拉丁超立方方法(Latin hpercube)設計參數樣本點，代入樣本參數進行有限元計算，根據樣本模型計算結果，利用移動最小二乘法進行響應面擬合，得到鋼板中心孔處最大Mises應力的代理模型,再在代理模型基礎上采用自適應響應面優化方法對復合材料基本鋪層厚度進行優化(一級優化)，此時無需進行有限元計算便可得到最佳的鋪層厚度參數；最后結合復合材料制造約束條件，利用Optistruct對鋪層順序進行優化(二級優化)，得到最終鋪層設計方案。

圖1 多級優化流程圖Fig.1 Multi-level optimization flow chart

2.1 移動最小二乘法

傳統的響應面近似模型一般使用最小二乘法進行擬合，它是根據誤差平方和最小得到一個線性方程組，從而求解待定系數。最小二乘法擬合的計算過程比較簡單，但當擬合復雜形狀的響應面時，擬合精度比較差，而采用移動最小二乘法擬合就可以解決上述問題。

移動最小二乘擬合函數u(x)是由系數矢量a(x)和基函數P(x)構成，同時它認為點x處的函數值u(x)只受x附近區域Ωx內點的影響，Ωx外的點對u(x)沒有影響，這個區域Ωx稱為點x的影響域。在點x處的近似函數u(x)可以表示為[13]

(3)

PT(x)=(p1(x),p2(x),…,pm(x))

a(x)=(a1(x),a2(x),…,am(x))T

式中，PT(x)為基函數向量；m為基函數個數；a(x)為待定系數。

常用的二維空間中的二次基函數為

在移動最小二乘法擬合中，系數a(x)是通過在點x的鄰域Ωx內的近似函數u(x)與函數值y(x)的誤差加權平方和最小來確定的，即

(4)

pj(xi)=0

(5)

其中，n為點x的鄰域Ωx內包含的采樣點數，ω(xi)為節點xi的權函數，工程中常采樣高斯權函數，即

(6)

式中，r為影響域相對半徑大小;β為參數。

2.2 自適應響應面優化法

自適應響應面優化法(ARSM)的基本思想是先通過較少的樣本點構造一階響應面，確定優化方向，然后在梯度方向以適當步長獲取新設計點，并引入新設計點來重構響應面，這樣便可以比較準確且快速地找到最優點。

在自適應響應面法中，約束函數和目標函數都可以用以下二階多項式進行擬合：

j=1，2,…，m+1

(7)

式中,aj0、aji、ajik為二次多項式系數。

具體優化過程如下：

(1)計算初始點和擾動設計變量產生的n個設計點。

(2)利用最小二乘法計算目標函數和約束函數的多項式系數。如果設計點數為n+1，可以確定常數項和一次項系數；隨著設計點數增加，二次項系數逐漸確定；當設計點數大于1+n+(n+1)·n/2時，可通過加權來計算二次項系數。

(3)利用數學規劃法對響應面進行優化求解，如果優化迭代結果已經收斂，則終止迭代；反之，返回步驟(2)繼續迭代計算。

2.3 鋪層順序優化

由于復合材料鋪層順序對復合材料結構的力學性能和工藝性能存在重要影響，所以在復合材料優化設計中，鋪層順序優化是必不可少的環節。本文鋪層順序優化采用Optistruct的composite shuffle 模塊。

從力學和工藝性能考慮，復合材料鋪層設計一般遵循以下原則[14]：①鋪層纖維軸向應盡量與所受載荷方向一致，以便利用纖維軸向高強度和高剛度的特點；②同一方向鋪層連續鋪層數量不得大于4；③鋪層纖維方向通常為0°、90°和±45°；④為了避免樹脂直接承載，應同時包含0°、90°和±45°四種鋪層。

3 優化算例

3.1 建立有限元模型

CFRP加固中心孔鋼板的有限元模型如圖2所示，鋼板長450 mm、寬400 mm、厚3 mm，中心有直徑10 mm的圓孔，材料是304不銹鋼，屈服強度σs為310 MPa；在圓孔處單面粘貼總厚度為4 mm的CFRP，CFRP由0°、90°和±45°基本鋪層組成，每種基本鋪層厚度為1 mm，膠層厚度為0.3 mm。鋼板和CFRP采用四節點減縮積分四邊形殼單元S4R模擬，膠層采用八節點粘貼單元COH3D8模擬，總共單元數量為7866，節點數量為6671。邊界條件是約束鋼板四邊節點的三個移動自由度，在鋼板上施加均勻壓力載荷0.02 MPa。

圖2 CFRP加固中心孔鋼板的有限元模型Fig.2 Finite element model of CFRP reinforcing center hole steel plate

碳纖維布采用東麗公司生產的CUDP-H150/T700-E7型碳纖維布，其性能指標列于表1。膠層材料采用西卡Sikadur-330樹脂，屬性詳見文獻[15]。

表1 試驗碳纖維布的性能

假定每個CFRP基本鋪層厚度為1 mm，鋪層纖維方向為±45°,基本鋪層必須相鄰，分析基本鋪層順序對鋼板圓孔處最大Mises應力的影響，結果如表2所示。從表2中可以發現，基本鋪層順序為±45°/0°/90°時，鋼板圓孔處最大Mises應力最小，因此后續分析模型以±45°/0°/90°為基本鋪層順序。

表2 基本鋪層順序對鋼板圓孔處最大Mises應力的影響

3.2 建立響應面近似模型

建立響應面近似模型需要一系列具有代表性的仿真數據點，這些仿真數據點的分布會影響近似響應面的擬合精度，因此需要合理地布置數據點。本文采用拉丁超立方(Latin hypercube)方法進行試驗設計，為近似響應面模型提供初始數據點。設計變量為基本鋪層0°、90°和±45°的厚度(±45°的厚度相等)，近似函數為鋼板中心孔處最大Mises應力，總共30個數據點，拉丁超立方生成的設計變量空間如圖3所示。

圖3 拉丁超立方生成的設計變量空間Fig.3 Design variable space generated by Latin hypercube

根據拉丁超立方試驗計算結果，利用移動最小二乘法擬合鋼板中心孔處最大Mises應力的近似模型。移動最小二乘法的基函數為二次基函數，權函數為高斯權函數，擬合計算結果如圖4所示。從圖4可以看出，鋼板中心孔處最大Mises應力的擬合值與仿真值非常吻合，各個數據點的相對誤差基本都小于1%，平均相對誤差為0.19%。

圖4 仿真值與擬合值對比Fig.4 Comparison of simulation and fitting value

移動最小二乘和傳統最小二乘擬合相對誤差對比如圖5所示，兩者采用相同的數據點，傳統最小二乘擬合為二次多項式。從圖5中可以看出，移動最小二乘擬合的相對誤差明顯比傳統最小二乘擬合誤差小，傳統最小二乘擬合的平均相對誤差為1.10%，而移動最小二乘擬合的平均相對誤差為0.2%。

圖5 移動最小二乘和傳統最小二乘擬合相對誤差對比Fig.5 Relative error comparison of moving least squares and traditional least-squares fitting

3.3 自適應響應面優化

根據移動最小二乘法擬合的代理模型，采用自適應響應面法對復合材料基本鋪層厚度進行優化設計，優化迭代時不需要進行有限元計算。設計變量的設置如表3所示。以鋼板中心孔處最大Mises應力小于70 MPa為約束條件，復合材料總厚度最小為優化目標進行優化計算，經過24步迭代，得到如表3所示優化結果。從表3中可以看出，復合材料總厚度為4.395 mm，鋼板中心孔處最大Mises應力為70.003 MPa，滿足約束條件。

表3 設計變量和響應的初始值和優化值

3.4 鋪層順序優化

對于CFRP層合板，所有基本鋪層的單層厚度均相等，單層CFRP厚度為0.125 mm。根據第一步尺寸優化結果，采用下面公式可以計算出第i個基本鋪層的鋪層層數：

Ni=8xi

(8)

由尺寸優化結果和式(8)計算出的各基本鋪層的鋪層數量如表4所示。假設初始鋪層順序為[(45°/-45°)6/0°12/90°12]，采用Optistruct的composite shuffle 模塊進行優化，以鋼板中心孔處最大Mises應力最小為優化目標，設置制造約束條件為連續鋪層數量不大于4層，45°鋪層必須成對排列。經過7步迭代后，最終優化后的鋪層順序為：[(45°/-45°)4/0°2/(45°/-45°)2/0°4/90°2/0°2/90°4/0°2/90°4/0°2/90°2]。

表4 基本鋪層的鋪層數量

CFRP加固前后鋼板中心孔局部Mises應力如圖6所示，從圖中可以看出，未經CFRP加固的鋼板，中心孔處左右兩邊的Mises應力比上下兩邊大，最大Mises應力為157.7 MPa，位于中心孔的左右邊緣；CFRP加固后的鋼板，中心孔邊緣的Mises應力基本相等，最大Mises應力為68.50 MPa。

(a)加固前

(b)加固后圖6 CFRP加固前后鋼板中心孔局部Mises應力Fig.6 Mises stress of before and after CFRP reinforcing center hole steel plate

因此，經過CFRP加固優化設計后，鋼板中心孔處應力分布更合理，最大Mises應力減小了56.6%。

4 結論

(1)采用多級優化方法對CFRP加固中心孔鋼板進行了優化設計。整個優化過程僅需試驗設計和鋪層順序優化時進行有限元計算，提高了優化效率；優化設計后鋼板中心孔處應力分布更均勻，最大Mises應力減小了56.6%。

(2)傳統最小二乘擬合法的平均相對誤差為1.10%，而移動最小二乘擬合法的平均相對誤差為0.2%，明顯比傳統最小二乘擬合法小。

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(編輯 王艷麗)

Optimization of Carbon Fiber Reinforced Polymer Reinforcing Center Hole Steel Plates

WU Xizhi1CHENG Junsheng2

1.College of Transportation and Logistics, Central South University of Forestry and Technology, Changsha,410082 2.Stake Key Laboratory of Aduanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha,410082

A multi-stage optimization method was adopted for carbon fiber reinforced polymer reinforcing center hole steel plate. The method was divided into two steps: firstly, sample points were selected based on the Latin hypercube method, an agent model was fitted by the moving least square, and the thickness of basic laminate was optimized based on the adaptive response surface optimization method. Secondly, considering composite’s manufacturing constraints, the stacking sequence was optimized by use of Optistruct software to obtain optimum design. Through the multi-stage optimization design, the stress of center hole steel plate is distributed more reasonable, and the maximum Mises stress is reduced by 56.6%.

carbon fiber reinforced polymer; Latin hypercube; moving least square; adaptive response surface method; stacking sequence optimization

2016-06-23

國家高技術研究發展計劃(863計劃)資助項目(2013AA040203)；國家自然科學基金資助項目(51305045)；中國博士后科學基金資助項目(2014M562099)；智能型新能源汽車國家2011協同創新中心資助項目；湖南省綠色汽車2011協同創新中心資助項目

TB33

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.11.008

伍希志，男,1985年生。中南林業科技大學機電學院講師。研究方向為結構優化、復合材料加固技術、機器人技術。發表論文7篇。E-mail:wuxizhi2006@126.com。程軍圣，男，1967年。湖南大學機械運載與車輛工程學院教授。