戰術導彈內部分支結構動力學建模

王 亮，周劍波，李 璞，蔡毅鵬，南宮自軍

(中國運載火箭技術研究院， 北京100076)

【裝備理論與裝備技術】

戰術導彈內部分支結構動力學建模

王 亮，周劍波，李 璞，蔡毅鵬，南宮自軍

(中國運載火箭技術研究院， 北京100076)

基于模型導彈的結構參數，通過有限元方法計算了6種建模方法對應模型的模態，研究了導彈內部分支結構動力學建模的6種方法對全彈模態計算結果的影響。研究發現：考慮分支結構對全彈剛度的影響時，模態計算結果與試驗結果較接近；另外細化考慮導彈對分支結構的約束效果時，模態計算結果最接近試驗結果。

振動；模態；分支結構

航天工程中，為了對姿態控制設計、動載荷計算、響應分析，以及慣性測量組合的安放位置提供參考，需要精確預示戰術導彈的結構動力學特性，而這取決于其精確的動力學模型。設計時，一般采用梁-質量塊模型進行導彈結構的動力學建模，而且建模時經常會遇到帶內部分支彈性結構的情況，此時如何對內部分支結構進行簡化建模，對結構的模態預示的準確度起著決定性的影響。

前人對梁模型做了相當多的研究，通常使用的梁模型包括歐拉梁模型和鐵木辛克梁模型[1-3]。前人在使用鐵木辛克梁進行精確計算及梁的剪切系數方面進行了較多的研究[4-8]。

另外，在精確分析梁模態方面也進行了大量的研究。王棟[9]研究了梁附帶集中質量時系統的橫向彎曲自由振動。研究發現集中質量的轉動慣性對梁的頻率、振型以及靈敏度都有很大的影響。當集中質量的轉動慣性較大時，忽略其影響對梁的振動分析可能帶來很大的誤差。楊亞平[10]分析了集中質量矩陣取代一致質量矩陣后對系統自振頻率造成的誤差，指出集中質量矩陣應該有條件的使用，根據相對容許誤差，給出了實際計算中采用集中質量矩陣時單元尺寸的選取方法。王亮[11]研究了不同梁模型對戰術導彈結構動力學特性的影響，給出了3種梁模型，其中包括一種歐拉梁模型和兩種鐵木辛克梁模型，并與試驗數據對比。研究發現，歐拉梁模型在預示導彈低階模態時，精度較好，但在高階時不如鐵木辛克梁模型，且使用變剪切系數的鐵木辛克梁的模型模態預示結果更加接近試驗結果。對于類似于等截面懸臂梁的振動系統，劉相[12]分別運用一致質量法和集中質量法進行分析，說明在結構動力響應分析中，集中質量法最主要的優點是節省計算量和計算時間；而采用同樣的單元數目時，一致質量法的計算精度相對較高。兩種有限單元法分析的結果與精確解進行比較，一致質量法給出的自振頻率高于實際值，而集中質量法給出的自振頻率低于精確解。由于ANSYS在進行非線性材料的模態分析時并不能很好地處理材料的非線性特性，所以要用ANSYS進行非線性模態分析，必須對該軟件自振的計算程序進行修正，張彬彬[13]利用程序先提取非線性靜力計算結果中單元的應力大小，然后利用應力大小修正單元的彈性模量，通過這種方式使得材料的非線性特性能被ANSYS模態分析結果反映。

因此，在計算導彈模態時，掌握精確的剛度分布以及質量分布是必需的，若導彈結構內部帶有分支梁結構，必須根據分支梁結構的特性以及與全彈之間的約束關系，對分支梁結構進行簡化建模。本研究針對這一問題，提出了6種簡化建模的方法，通過有限元方法計算對比了6種模型的模態，對比分析了分支結構對全彈模態計算的影響。

1 模型建立

1.1 模態計算理論

模型的振動特征方程為[14]

(1)

其中：K、M為結構的剛度、質量矩陣；Λ、Φ分別為結構的特征值與特征向量矩陣。

在計算結構模態時，首先要確定模型的剛度與質量矩陣，而導彈內部的分支梁結構直接影響了全彈的剛度和質量分布。以下通過具體模型研究這種差異。

1.2 模型分析

導彈建模時設計時，一般將彈體簡化為梁-質量塊模型，并將彈體分為若干個分站，這些分站一般為艙段連接點、儀器放置點，或者某些大型部件的重心，并給出彈體的各分站處的集中質量以及各分站之間梁的材料和截面尺寸。

如圖1所示，某型導彈采用梁動力學模型。每個節點為一分站，從節點1到36為導彈主梁節點，在節點8～14區域內，導彈內部有一個分支梁結構，并以8、10和13為連接截面，其中10為主支撐結構，連接剛度較強，8和13為輔助支撐結構，8站支撐結構為一種托盤狀的連接，13為徑向支架連接，剛度均較弱。

圖1 導彈分站模型

1) 質量單元

分站質量與轉動慣量添加在對應的自由度方向，對應分站的轉動慣量計算公式[14]為

(2)

其中：me為該站上的集中質量；R為該站處的彈體半徑；h為處于端點時取它與相鄰點間距之半；處于中間點時取它相鄰的前后兩點間距之半。

2) 剛度單元

由于彈身為連續氣動外形，因此各節點處截面半徑不相等，因此采用變截面梁單元技術，使用型函數導數與材料參數矩陣乘積在單元長度上積分的方法，得到各單元的剛度矩陣，具有變剪切系數k的鐵木辛克梁模型。

考慮剪切后，單元上任意一點的轉角為

變截面梁單元的剛度計算公式[11]如式(3)所示。

單元的剛度矩陣為

(3)

根據彈性力學中的定義，截面的剪切系數與其面上的剪切應力的分布有關，剪切系數k的計算公式[8]為

(4)

其中：A為截面面積；Q為截面所受的剪力；τxy和τxz是剪力Q引起的截面分布剪應力。

要給定某一截面的剪切系數，必須先對剪應力的分布做一定假設。最簡單的假定剪應力的分布與材料力學相同，但是這樣導致剪應力與實際分布相差較大，求出的剪切系數與真實情況相差較大。本研究中，假設剪應力的分布與彈性力學中懸臂梁的剪應力分布相同，將公式(4)積分可以得到截面內外徑比為m的薄壁圓管截面剪切系數計算公式[15]為

(5)

1.3 簡化模型

針對導彈內部的分支梁結構，本文研究了6種簡化模型:

模型一：集中質量模型。由于主支撐剛度較強，將分支梁結構的質量以給出的集中質量形式連接在梁主支撐分站位置；

模型二：分支梁剛度模型1?？紤]分支梁的剛度，其以分支梁結構通過連接節點與主梁連接及分支梁與主梁在連接位置共用節點，共用平動和轉動自由度。

模型三：分支梁剛度模型2。在模型二的基礎上，考慮分支梁與主梁的連接關系，定義主支撐和前輔助支撐共用平動和轉動自由度，而后輔助支撐僅為徑向支架連接，因此僅共用平動自由度。

模型四：分支梁剛度模型3?？紤]分支梁與主梁的連接關系，定義主支撐共用平動和轉動自由度，而后輔助支撐僅共用平動自由度；

模型五：分支梁剛度模型4?？紤]分支梁與主梁的連接關系，定義主支撐和后輔助支撐均共用平動和轉動自由度。

模型六：分支梁剛度模型5。考慮分支梁與主梁的連接關系，定義主支撐和前輔助支撐均共用平動和轉動自由度。

從以上6種模型可以發現，模型一為僅考慮分支結構的質量特性，未考慮其對全彈的剛度貢獻，模型二考慮了分支結構的質量和剛度，但未細化考慮分支結構與全彈結構的剛度貢獻，模型三在模型二的基礎上，考慮了分支結構與全彈的約束作用，細化了其對全彈結構的剛度影響，模型四和模型五與模型二和三為未考慮前輔助支撐的剛度貢獻，模型六為模型二和三未考慮后輔助支撐的剛度貢獻。

以下針對提出的6種模型，進行算例分析，研究不同的建模方法對全彈模態的影響。

2 算例

根據相關參數，分別使用上節給出的各種模型計算結構的模態。圖2～圖4分別比較了各種模型與試驗結果的前三階歸一化的模態振型。表1給出了各種模型的前三階模態頻率和試驗結果的對比。

圖2 各種模型的第一階歸一化的固有振型對比

圖3 各種模型的第二階歸一化的固有振型對比

圖4 各種模型的第三階歸一化的固有振型對比

階次試驗數值/Hz模型一數值/Hz相對偏差/%模型二數值/Hz相對偏差/%模型三數值/Hz相對偏差/%模型四數值/Hz相對偏差/%模型五數值/Hz相對偏差/%模型六數值/Hz相對偏差/%1st32．3131．29-3．1437．5516．2433．303．0730．49-5．6233．403．3732．741．352nd75．9763．15-16．8877．451．9577．451．9562．63-17．5664．02-15．7369．76-8．173rd101．71102．821．09108．086．27101．820．1198．68-2．97104．512．7695．10-6．50

從以上計算結果可以發現：

1) 從6種模型的前三階振型圖看出，模型二和模型三的模態振型與試驗結果較為一致，尤其是前兩階，模型一、四、五和六的模態振型與試驗結果差異較大，其中模型一差異最大；

2) 從6種模型計算的模態頻率結果對比，發現模型三的前三階模態頻率結果與試驗結果最接近，且最大偏差在3%左右，而模型一、四、五和六的第一和第三階模態頻率與試驗結果較接近，第二階偏差較大，其中模型六的偏差最小，模型二的第二階模態頻率與試驗結果較接近，第一階與第三階偏差較大。

3) 從計算結果看出，分支結構的剛度對全彈模態的第三階影響較小，而細化考慮分支結構與全彈的約束關系提高了全彈第一階模態的預示精度，另外3個支撐的剛度均需要細化考慮，單獨考慮單個輔助支撐的作用均會造成預示模態不準確。

比較計算結果發現，模型三的分支梁簡化方法最接近實際情況，分支梁對各階全彈模態的影響較大。

3 結論

1) 考慮分支結構對全彈剛度的影響時，模態計算結果與試驗結果較接近；另外細化考慮導彈對分支結構的約束效果時，模態計算結果最接近試驗結果。

2) 考慮分支梁剛度建模和分支梁與全彈約束關系時，即模型三的分支梁簡化方法最接近實際情況，分支梁對各階全彈模態的影響較大。

[1] CLEGHORN W L,TABARROK B.Finite element formulation of a tapered Timoshenko beam for free vibration analysis[J].Journal of Sound and Vibration,1992,152(3):461-470.

[2] AL-GAHTANI H J.Exact stiffness for tapered members[J].Journal of Structural Engineering,1996,122(10):1234-1239.

[3] 陸念力,張宏生.計及二階效應的一種變截面梁精確單元剛度陣[J].工程力學,2008,25(12):60-64.

[4] 周世軍，朱晞.一組新的Timoshenko梁單元一致矩陣公式[J].蘭州鐵道學院學報，1994,13(2):1-7.

[5] 李華,武蘭河,黃 羚.一種新的考慮剪切變形影響的梁單元[J].石家莊鐵道學院學報,1999,12(4):58-61.

[6] 劉文煉.一種新的Timoshenko梁單元[J].廣東土木與建筑,2007(12):13-14.

[7] 胡海昌.彈性力學的變分原理及其應用[M].北京:科學出版社,1981:144-147.

[8] 王樂,王亮.一種新的計算Timoshenko梁截面剪切系數的方法[J].應用數學和力學,2013,34(7):756-763.

[9] 王棟,附帶有考慮集中質量的轉動慣性的梁固有振動分析[J].振動與沖擊,2010,29(11):221-225.

[10]楊亞平,沈海寧.集中質量矩陣替代一致質量矩陣的合理性生與局限性[J].青海大學學報:自然科學版,2010,28(1):35-39.

[11]王亮,商霖,王樂.戰術導彈結構動力學建模研究[J].戰術導彈技術,2013(1):24-27.

[12]劉相.一致質量含參和集中質量含參的比較分析[J].遼東學院學報:自然科學版,2010,17(3):207-210.

[13]張彬彬,朱瑜林,王海城.考慮材料非線性的預應力梁模態分析[J].工程質量,2016,34(1):33-37.

[14]尹云玉.固體火箭載荷設計基礎[M].北京:中國宇航出版社,2007.

[15]胡海昌.彈性力學的變分原理及其應用[M].北京:科學出版社,1981:144-147.

(責任編輯 周江川)

Study on the Structure Dynamic Modeling of Tactical Missile with Internal Branches

WANG Liang, ZHOU Jian-bo, LI Pu, CAI Yi-peng, NANGONG Zi-jun

(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China)

Based on the real parameter of the rocket, the modes for the six models were simulated by FEM method to analyze the influence of the six models on the rocket’s modes. It is found that the model are more closed to the experimental results when the branches are modeled, and the model are most close, considering the constraining relationship between the branches and the rocket.

vibration; mode; structures with branches

2016-10-08；

2016-12-25 基金項目：國家重點實驗室2015年開放課題(MCMS-0115G01)；國防技術基礎科研項目(JSZL2015203B002)

王亮(1985—)，男，博士，高級工程師，主要從事導彈載荷與環境設計研究。

10.11809/scbgxb2017.05.004

format:WANG Liang, ZHOU Jian-bo, LI Pu, et al.Study on the Structure Dynamic Modeling of Tactical Missile with Internal Branches[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(5):18-21.

TJ761.1

A

2096-2304(2017)05-0018-04

本文引用格式：王亮，周劍波，李璞，等.戰術導彈內部分支結構動力學建模[J].兵器裝備工程學報，2017(5):18-21.