正態分布在計算反常積分中的典型應用

李拴柱+王華

摘 要：本文對于一類特殊的無窮反常積分形如 給出了比較新穎的求解方法，合理的利用概率論中正態分布的知識，使這類問

題迎刃而解，并且解答過程簡潔明了，充分體現了反常積分求解方法的多用性.

關鍵詞：反常積分；計算方法；正態分布；期望.

反常積分的應用非常廣泛，反常積分包括兩類：無窮積分和瑕積分.反常積分的定義是計算反常積分的基礎，定積分的計算方法一般也可以用到反常積分的計算中，但對于一些特殊問題，例如形如

這個就計算量就會很大，在這我們結合概率論中的正態分布和期望的概念給出了一個簡單明了的求解方法.

設X是隨機變量，其概率密度函數f（x），期望記為E（X）， Y=f（X）是X的隨機變量函數，則我們有下列結論

定義 .

性質1

性質 2

性質3

定義2隨機變量 ，則 .

由上述概率論知識我們可以得到如下公式：

定理

為任意實數。

證明因為 ，所以

. （1-1）

設連續性隨機變量 ，則它的概率密度為

所以（1-1）式可以寫為：

（1-2）

設連續性隨機變量Y 為X的函數，且

，由定義1及性質1-3得

因為 所以 ，又由

，得

所以（1-2）式變為 .

即

. （1-3）

以上我們利用連續性隨機變量的正態分布特點，將一內反常積分的計算轉化為計算一個隨機變量函數的數學期望，經過嚴格推導得到了這內反常積分的計算公式（1-3）， 使得計算該類反常積分的難題得以解決.

例如 這個反常積分的計算我們一般是構造二

元函數，利用二重積分去計算的，而我們現在套用這個公式的話相當于

，從而帶入公式（1-3）得到結果就是 .從而簡化了計算過程.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系，數學分析，北京：高等教育出版社， 2001

[2]裴禮文，數學分析中的典型問題與方法，北京：高等教育出版社， 2006

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