對有理數四則運算的深度剖析

胡夢堯+陳天宇

[摘 要] 有理數是初中生數學學習的起點，其概念與運算法則是發展學生數感、符號意識、類比歸納能力的重要途徑. 本文對有理數及其四則運算的產生和發展做了全面而深刻的剖析，并與教材的內容呈現方式進行了對比，論述了數學內容知識（SMK）對教師把握教材、理解學生的促進作用.

[關鍵詞] 有理數；四則運算；教學思考

有理數作為學生初中數學學習的起始內容，承擔著溝通小學數學與初中數學的重任. 總覽全國主流的教材，不難發現有理數主要是通過生活實例引入的，讓學生感知生活中存在一類比0小、表達含義和正數相反的數. 在講述有理數的四則運算法則時，教材多是從具體的運算例子出發，讓學生分析比較其中的變化趨勢，引導學生舉一反三，從而發現有理數四則運算的“規律”. 由于該部分內容較為抽象，且理論性較強，缺乏實際生活背景，教師在授課時，很難有所創新. 倘若嚴格按照教材的呈現方式照本宣科，難免會使學生把規律作為法則死記硬背. 即使學生能夠準確地完成有理數的計算，這樣的教學也是無益于學生核心素養的發掘的. 事實上，有理數及其四則運算蘊含了豐富的數學抽象思想和文化內涵，教師若能理清其發生發展的脈絡，就能很好地把握學生學習過程的認知沖突，從而探索出設計教學的最佳切入點，做到步步為營.

加法與自然數集

在皮亞諾的算數公理體系中，最先被抽象出的數是1. 在“后繼”概念的驅使下，1的后繼為2，2比1大1，即2=1+1；2的后繼為3，3比2大1，即3=2+1……有了后繼的概念，不僅誕生了所有的有理數，也定義了加法. 換言之，加法是“+1”運算的復合，即對于任意的a∈N，b∈N，a+b表示在a后面增加b個后繼的序數，如果這個序數是c，則稱c為a與b的和，記a+b=c. 后來，皮亞諾又規定自然數的起始是0，1是0的后繼，其原因在于如果自然數集從1開始，算數公理體系無法定義出0，就無法定義出相反數，也就無法定義負整數，亦無法通過加法的逆運算定義出減法.

減法與整數集

把除0以外的自然數稱為正整數. 實際生活中存在一類與正整數數量相同，但表達意義相反的數，為了表示這樣一類數，采用了如下基于內涵的定義方法：對于給定的正整數a，稱滿足a+b=0的數b為a的相反數，記為-a. 于是，自然數集就擴充為整數集Z，Z={負整數，0，正整數}.

既然使加法得以產生和發展的有理數集得到了延伸，那么就非常有必要重新審視加法在有理數集上的運算是否完備. 由于正整數與其對應的負整數是一類數量相等，表達含義相反的數，在應用絕對值來刻畫數量的情況下，符號相同的兩個有理數相加只需將絕對值相加，和的符號保持不變；符號互異的兩個有理數相加，則需用較大的絕對值減去較小的絕對值，和的符號與絕對值較大的有理數保持一致. 由此可見，加法在整數集Z上保持了封閉，且交換律和結合律仍然成立.

保證了加法在整數集Z上的完備性之后，就由加法的逆運算定義了減法：對于任意a∈Z，b∈Z，a-b=x？圮a=b+x，由加法的封閉性可知x∈Z，是一個整數. 于是，減法在整數集上是封閉的，但在自然數集N上是不封閉的. 定義了減法之后，可以驗證-a=0-a或a=0-（-a），即a+（-a）=0，這與相反數的定義是一致的.

教材中往往把有理數的減法運算法則表述為“減去一個數，等于加上這個數的相反數”，而且是通過將一組相反數分別代入減法及其對應的加法來驗證得到的. 這種基于經驗的活動探究過程并不能很好地展現數學嚴密的邏輯推理過程，似乎顯得有些本末倒置. 準確的減法運算法則推導如下：因為a與（-a）互為相反數，所以a+（-a）=0，移項可得a=0-（-a）或-a=0-a，在等式兩邊同時加上有理數b，可得b+a=b+[0-（-a）]或b-a=b+（0-a），即b+a=b-（-a）或b-a=b+（-a）. 兩種運算結果均證明了有理數的減法運算法則. 值得注意的是，該運算法則是雙向的，既包括把減法轉化為加法，亦包括把加法轉化為減法. 實際上在運算時我們無時無刻不用到后者，例如5+（-4）=5-4=1，只是關注甚少罷了.

乘法及其運算法則

在自然數集上，乘法是源于對加法的簡便運算而誕生的. 例如15=5+5+5=5×3. 一般地，對于任意a∈N，b∈N，有c=a+a+…+a？圮c=a×b，其中連加表示b個a相加. 因此，“？圮”右邊的乘法是左邊b個a相加的簡便運算，稱a，b為乘數，c為積. 基于這樣的乘法運算，可以得到兩個基本性質：對于任意a∈N，有0×a=0，1×a=a. 這兩個性質構成了乘法運算的基本特征.

但在有理數集上，乘法就不一定是加法的簡便運算. 例如（-2）×3可以看作（-2）+（-2）+（-2）=-6，這還可以解釋為加法的簡便運算；但3×（-2）就解釋不通了，不能解釋為-2個3相加. 由于自然數集包含在整數集內，若要將乘法運算推廣，那么推廣的橋梁就是乘法的交換律和分配律.

推廣的邏輯大致如下：假設在整數集Z上存在一種運算“·”，這種運算滿足上述兩個基本性質和兩個定律. 為了證明推廣的唯一性，只需證明在自然數集N上，定義的運算“·”是加法的簡便運算. 下面用數學歸納法證明：

當k=2時，對于？坌a∈N，滿足a·2=2·a=（1+1）·a=1·a+1·a=a+a=2a. 其中，第一個等號成立是因為交換律，第二個是根據自然數的定義，第三個是因為分配律，第四個是因為第二個基本性質，第五個是根據加法的基本定義.

假設當k=n時結論成立，即對于？坌a∈N，a·n=na成立.

當k=n+1時，a·（n+1）=（n+1）·a=na+1·a=na+a=（n+1）a . 其中，第一個等號成立是因為交換律，第二個是因為分配律，第三個是基于第二步的歸納假設和第二個基本性質，第四個是根據加法的基本定義. 所以，運算“·”是加法的簡便運算.

既然乘法可以從自然數集推廣到整數集，且保持了交換律和結合律，那么兩個負整數相乘的積的符號該如何確定？“負負得正”這個問題在歷史上困擾過許多名人，《紅與黑》的作者司湯達就是其中一位“受害者”. 他因為不理解為什么“負負得正”，且在詢問無果后對數學絕望，而棄理從文. 事實上，“負負得正”是可以證明的，且由于乘法交換律，我們只需證明（-1）·（-1）=1即可：0=0×（-1）=[（-1）+1]×（-1）=[（-1）×（-1）]+[1×（-1）]=[（-1）×（-1）]+（-1），所以（-1）×（-1）=1. 其中，第一個等號成立是根據乘法的第一個基本性質，第二個是基于相反數的定義，第三個是因為分配律，第四個是因為已知1×（-1）=-1.

總結與反思

數系擴充源于新的運算法則的誕生，但教材卻往往顛覆數學知識發生發展的歷程，總是先將數系擴充，再在此基礎上進行四則運算的探討，且教材內容大多基于具體實例，重視培養學生合情推理能力，而缺乏嚴密精確的演繹推理. 教材之所以如此處理，是因為在編寫過程中考慮到學生的認知發展規律，在不同學習階段針對不同數系進行四則運算更有利于培養學生類比、歸納的能力，鍛煉敏銳的洞察力，從而理解四則運算真正的含義. 另一方面，根據皮亞杰的認知發展階段理論，七年級的學生大致處于具體運算階段與形式運算階段的過渡時期，邏輯推理能力尚未成熟，思維活動需要具體活動內容的支持，學到的知識大多是基于經驗的.

即使教師在某些數學內容上不能嚴格遵循數學發展史而采用發生教學法，但教師必須明晰教學內容背后蘊含的學科背景知識. 因為受到歷史相似性原理的啟示，數學知識產生重大變革之處也正是學生的疑惑所在. 教師應致力于豐富自身的學科內容知識（SMK）和學科教學知識（PCK），基于學生已有的認知結構，站在最近發展區的角度上，兼顧數學知識的嚴謹性，尋求最佳的知識呈現方式和活動探究方式.