基于分數階統一混沌系統的圖像加密算法*

毛驍驍， 孫克輝， 劉文浩

(中南大學 物理與電子學院, 湖南 長沙 410083)

基于分數階統一混沌系統的圖像加密算法*

毛驍驍， 孫克輝， 劉文浩

(中南大學 物理與電子學院, 湖南 長沙 410083)

為了解決數字圖像信息傳輸所面臨的安全性問題，基于分數階統一混沌系統，提出了一種新的圖像加密算法。采用經典的置亂—擴散機制，整個加密策略分為圖像像素位置置亂和像素值替代兩個過程。在像素置亂的過程中，采用排序的方式分別對圖像的行和列進行置亂。在像素值替代的過程中，通過與密鑰序列進行異或運算來實現加密。而混沌系統則作為偽隨機序列發生器，并作用于加密的各個階段。安全性和時間復雜度分析表明：該算法具有高的安全性和低的時間復雜度，且能夠抵御幾種常見的攻擊方式。

分數階統一混沌系統； 圖像加密； 安全性和時間復雜度分析

0 引 言

隨著計算機技術和網絡技術的發展，信息安全的問題日益凸顯[1～3]。然而傳統的文本加密算法DES(data encryption standard)和AES(advanced encryption algorithm)并不適用于加密圖像，難以滿足實時加密的要求[4]。在此背景下，基于混沌的圖像加密策略引起了廣泛地關注[5～12]。混沌系統具有初值敏感性、遍歷性和類噪聲性等特點，使其在密碼學應用中具有天然的優勢，且混沌序列通過簡單迭代即可生成，能滿足事實性要求。

混沌系統根據系統維數的不同可分為低維混沌系統和高維混沌系統[13]。低維混沌系統具有迭代速度快、硬件實現簡單等優點，但因其結構簡單以及密鑰空間小而存在安全隱患。相反，高維混沌系統具有更復雜的動力學特性和大的密鑰空間，因此，安全性更高，但硬件實現相對復雜，且其時間開銷相對較大。此外，根據系統階數的不同，混沌系統可分為整數階混沌系統和分數階混沌系統。相比于整數階混沌系統，分數階混沌系統已被證明具有更大的密鑰空間和更復雜的隨機序列，因而具有更好的安全性，且被廣泛地應用于數字信號處理、保密通信和數字水印等領域[14～16]。但目前基于分數階混沌系統的圖像加密算法研究仍然較少[17]。因此，基于分數階混沌系統的研究具有重要的現實意義和廣泛的應用價值。

但是分數階混沌系統在應用于圖像加密時也存在時間開銷較大的不足。針對這一問題，一方面選用Adomian分解算法[18]來求解分數階系統。相比于頻域算法和預估—校正算法，Adomian分解算法因速度更快，所占系統內存資源更少，而被廣泛地應用。另一方面，優化加密算法設計，盡量減少系統的迭代開銷，從而獲得低的時間復雜度。

本文基于分數階統一混沌系統來設計圖像加密算法，提出了基于Adomian安全性和時間安全性分析表明，該算法具有高安全性和低時間復雜度，且能抵制幾種常見攻擊方式。最后得出了結論。

1 分數階統一混沌系統設計

分數階統一混沌系統方程為[19]

(1)

式中 α為系統參數，q為系統的微分階數。這里采用速度較快的Adomian分解算法[18]來求解。取參數α=1，q=0.90時，其Lyapunov指數為(3.198 1,0,-20.026 9)，系統為混沌態。此時，系統的吸引子相圖如圖1所示。

圖1 分數階統一混沌系統的吸引子相圖

2 混沌圖像加密算法設計

設計的圖像加密算法的流程圖如圖2所示。可見，整個加密算法可分為圖像像素位置置亂和像素值替代兩個過程。首先，通過行列雙方向排序的方法實現圖像像素的位置置亂。之后，通過行列像素替代操作實現圖像像素值的替代。而分數階統一混沌系統用于生成偽隨機序列，并作用于加密的各個階段。加密算法的具體步驟如圖2所示。

圖2 加密算法流程圖

2.1 圖像位置置亂過程

(2)

(3)

2)生成位置置亂序列IX，IY:令L=max(M,N)。迭代統一混沌系統m+L(m=1 000)次并舍棄前m個值，以消除暫態效應，增強初值敏感性，得到3個混沌序列如下

X={x1,x2,…,xL}

(4)

Y={y1,y2,…,yL}

(5)

Z={z1,z2,…,zL}

(6)

根據式(7)和式(8)按升序對序列X(1∶M)，Y(1∶N)進行排序

[A,IX]=sort(X)

(7)

[B,IY]=sort(Y)

(8)

式中 A，B為排序后的新序列，IX為A中每一項對應X中項的索引，且IY為B中每一項對應Y中項的索引，分別為

IX={r1,r2,…,rM}

(9)

IY={c1,c2,…,cN}

(10)

3)行位置置亂:記行位置置亂后的圖像為T1，則通過式(11)實現對原始圖像P的每一行所在位置進行置亂

T1(i,:)=P(ri,:),i=1,2,…,M

(11)

式中 P(i,:)為第i行像素。

4)列位置置亂:記列位置置亂后的圖像為T，則通過式(12)實現對行置亂圖像T1的每一列所在位置進行置亂

T(:,j)=T1(:,cj)，j=1,2,…,N

(12)

經過以上步驟，置亂過程結束，得到置亂后的圖像T。

2.2 圖像像素替代過程

1)生成加密密鑰:令α=1，q=0.9，取混沌系統的初始條件為(x0,y0,z0)=(1,5,20)，迭代統一混沌系統m+L次并舍棄前m個值，以消除暫態效應，增強初值敏感性，得到三個新的混沌序列如下所示

(13)

(14)

(15)

接著通過式(16)和式(17)生成取值范圍為[0,255]的加密密鑰序列k1，k2如下

(16)

(17)

2)行像素替代:輸入位置置亂后的圖像T。通過式(18)對T的每一行像素與密鑰k1進行異或運算，得到行加密后的圖像C為

(18)

式中 c0為外部引入參數，可取[0,255]內的任意整數。

3)列像素替代:通過式(19)對C的每一列像素與密鑰k2進行異或運算，得到列加密后的圖像D作為最終的加密結果。解密是加密的逆過程

(19)

3 仿真結果

加解密實驗的仿真環境為Matlab 8.0，仿真結果如圖3所示。原始圖像選用256×256的灰度圖像Lena。

圖3 加解密結果

4 算法安全性和時間復雜度分析

4.1 密鑰空間

一個理想的圖像加密算法應該有足夠大的密鑰空間來抵御窮舉攻擊。在本密碼算法中，加密密鑰包括統一混沌系統的初始條件(x0,y0,z0)和系統參數α。假設計算精度達到10-15時，系統的密鑰空間為1015×1015×1015×1015=1060≈2200。根據目前計算機的計算能力，可知該密碼系統足以抵御窮舉空間。

4.2 密鑰敏感性分析

一個好的密碼系統除了應該有足夠大的密鑰空間外，還應該對其密鑰足夠敏感。這意味著如果加密或者解密密鑰微小的改變將使得加密或者解密的結果完全不同。在測試中，分別采用4個微小偏差的密鑰x0+10-15,y0+10-15,z0+10-14,α+10-15去解密加密的Lena圖像，如圖3(c)，解密結果如圖4所示。可見，解密結果與正確解密的Lena圖像，如圖3(d)完全不同。因此，該密碼算法對密鑰極其敏感。

圖4 錯誤解密結果

4.3 分布直方圖

對于一個良好的圖像加密算法，其加密圖像的分布直方圖應該盡可能的平坦。圖5顯示了原始Lena圖像及其加密圖像的直方圖。可見，原始圖像的像素分布不均勻，而加密圖像的分布較為平坦。因此，具有較好的抗統計攻擊的能力。

圖5 分布直方圖

4.4 互相關系數

原始圖像的相鄰像素具有較高的相關性，而加密算法的目標之一就是打破這種相關性。這種相關性可以通過相鄰像素對的互相關系數來衡量，且對于理想的加密算法，其加密圖像的相鄰像素對的互相關系數應該接近于0。相鄰像素的互相關系數定義如下

(20)

cov(x,y)=E[x-E(x)] [x-E(y)]

(21)

(22)

(23)

式中 n為像素點數;E(x)和D(x)分別為x的平均值和方差。表1列出了原始圖像和加密圖像在水平、垂直和對角3個方向上的互相關系數。可知，原始圖像的互相關系數接近于1，而加密圖像接近于0，從數值上證明了該算法具有較好的抵御統計攻擊的能力。

表1 原始圖像和加密圖像相鄰像素對的互相關系數

4.5 抗差分攻擊能力分析

差分攻擊是一種常用的密碼攻擊手段。為了獲得抵御差分攻擊的能力，加密算法必須對明文圖像足夠敏感，也就是說，明文圖像像素值的微小改變，將使得加密結果完全不同。明文敏感性的測試指標包括像素的改變比率(number of pixels change rate,NPCR)和像素值平均改變程度(unified average changing intensity,UACI)。分別定義為

(24)

(25)

式中 M和N分別為原始圖像的寬和高；C1(i, j)為加密圖像在點(i,j)處的灰度值，C2(i,j)為新的加密圖像在點(i,j)處的灰度值，且它們的原始圖像僅有一個像素點不同；D(i,j)定義為

(26)

執行100組實驗，所得NPCR和UACI的最大值、最小值以及平均值如表2所示。可見平均NPCR大于99.6 %，平均UACI大于33 %，接近于理想值。因此，該算法具有良好的抵御差分攻擊的能力。

表2 NPCR和UACI的計算結果

4.6 時間復雜度分析

加密算法的時間復雜度分析是加密性能的一個重要指標。實驗環境是2.7 GHz Pentium雙核處理器，1.94 GB RAM以及Windows 7操作系統。針對不同256×256的明文圖像，一輪加密算法的執行時間如表3所示。可見該算法具有低的時間復雜度。分析可知:對于M×N的圖像，在位置置亂和像素值替代的過程中，混沌系統都只需Θ(max(M,N))次迭代耗時操作。因此，在整個加密過程中所需的系統迭代耗時操作較少，從而解決了以往基于分數階混沌系統的圖像加密算法時間復雜度較低的缺點。

表3 一輪圖像加密算法的執行時間 s

5 結 論

本文基于分數階統一混沌系統，采用置亂—擴散機制，提出了一種新的圖像加密算法。在該算法中，通過行列雙方向排序來置亂圖像的像素位置，通過與密鑰序列進行異或運算來實現像素值的替代。仿真結果以及算法安全性和時間復雜度分析表明:該算法具有好的加密效果，大的密鑰空間，強的密鑰敏感性以及低的時間復雜度，且能夠抵御差分、窮舉、統計等攻擊。因此，在數字信息加密中具有良好的應用前景。

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孫克輝 (1968-), 男, 通訊作者，教授, 博士生導師，從事混沌保密通信、智能儀器儀表工作，E—mail：kehui@csu.edu.cn。

Image encryption algorithm based on fractional order unified chaotic system*

MAO Xiao-xiao, SUN Ke-hui, LIU Wen-hao

(School of Physics and Electronics,Central South University,Changsha 410083,China)

In order to solve the security problem during transmitting digital image information,a novel image encryption algorithm based on fractional order unified chaotic system is proposed.This algorithm utilizes the classical confusion and diffusion mechanism,and the whole encryption strategy can be divided into two stages:image pixel position permutation and pixel value substitution.In the first stage,each row and column of the image are respectively scrambled by the way of ranking.In the second stage,the pixel values of image are substituted by the XOR operation with key sequence.Besides,the chaotic system is used as pseudo-random sequence generator,and acts on the two stages.Security and time complexity analysis shows that the algorithm has high security and low time complexity,and can resist several common cryptogram attacks.

fractional order unified chaotic system; image encryption; security and time complexity analysis

2016—06—06

國家自然科學基金資助項目(61161006)；中南大學研究生創新基金資助項目(2016ZZTS230)

10.13873/J.1000—9787(2017)06—0138—04

TN 918.4

A

1000—9787(2017)06—0138—04

毛驍驍 (1990-), 男,碩士研究生，研究方向為混沌保密通信。