混合分布在非一致性水文頻率分析中的應用

王軍+寧亞偉+胡義明+劉和昌+梁忠民

摘要：傳統水文頻率分析方法的前提條件是水文極值系列需滿足一致性要求，然而由于氣候變化和人類活動的影響，使得水文資料的非一致性問題越來越突出，導致現行水文頻率分析方法的應用受到挑戰。根據重建的淮河流域1470年-1999年共530年夏季面平均降雨量長系列數據，進行分析，通過假設檢驗表明系列在1534年、1724年和1923年發生跳躍性變異，因而將系列劃分為4個子平穩系列；采用現行頻率分析方法估計每個子系列的概率分布函數，再根據混合分布概念由各子系列的概率分布構建一個綜合的概率分布函數，作為非一致性降雨系列總體分布的估計。在此基礎上，計算了給定設計標準下的設計值，并與基于大樣本（530年）計算的經驗設計值進行了對比，結果表明混合分布模型對觀測系列具有較好的擬合效果。

關鍵詞：非一致性；水文頻率分析；混合分布；淮河流域

中圖分類號：P333 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1683（2017）03-0001-04

Abstract：The traditional hydrological frequency analysis （THFA） method has been widely used to estimate the design flood for a given return period.It relies on the assumption that the series should be stationary.However，climate change and human activities caused the series to lose their stationarity，and thus limit the application of the THFA method.In this paper，we studied the 530-year summer-precipitation series covering the period from 1470 to 1999.At the 001 significant level，it was found that the series had three change points：1534，1724，and 1923.Therefore，the whole series was divided into four sub-sample series.We estimated the probability distribution function （PDF） of each sub-sample using the THFA method.Then we obtained the mixed probability distribution function （MPDF） by weighting and synthesizing the four PDFs related to the four sub-samples.The MPDF was regarded as the PDF of the whole series and was used to estimate the design precipitation for a given return period.Besides，the 530-year large precipitation series was also used to estimate the empirical value of the design precipitation.Then we compared the observation-sample-based estimations and MPDF-based estimations of the design precipitation.The results showed that the MPDF fit the series well.

Key words：non-stationary；hydrological frequency analysis；mixed probability distribution；Huaihe River basin

在各類水利工程的規劃、設計、施工以及運行管理中，均涉及到給定設計標準下水文設計值的推求問題。水文頻率分析方法作為推求水文設計值的一種標準工具已得到廣泛應用。現行水文頻率分析方法的應用前提條件是水文極值系列必須滿足一致性要求，即水文極值系列的統計規律在過去、現在或未來是一致的。但隨著全球氣候變化和人類活動影響的加劇，降雨及其時空分配過程和流域的下墊面產匯流條件發生了變化，導致水文極值系列的非一致性問題越來越突出，給現行頻率計算方法的應用帶來挑戰[1-2]。目前，國內外進行非一致性水文頻率計算主要基于兩個途徑[3]：一是通過還原（還現）方法將水文極值系列還原（還現）到過去（現在）某一狀態，使其滿足一致性要求；二是直接基于非平穩極值系列進行水文頻率分析，如時變矩模型[4-6]和混合分布模型[7-10]等。時變矩模型是假定分布函數中的參數隨時間（或與時間相關聯的某一變量，即協變量）之間呈現某種趨勢性變化，通過建立分布參數與時間（或協變量）之間的函數關系，實現對分布參數的估計，從而確定未來任意時刻水文極值變量的分布函數。混合分布模型認為整個非一致性的樣本系列可以分成若干個一致性的子系列，先估計各子系列的分布函數（子分布），再對各子分布進行加權綜合，以獲得一個可綜合考慮各子系列特征的分布函數，用以描述極值系列的總體分布特征。

本文根據重構的淮河流域1470年-1999年共530年的夏季長降雨樣本系列，通過統計假設檢驗分析系列的不一致性特征（跳躍性特征），采用混合分布模型對該系列進行頻率分析，比較基于混合分布模型計算的降雨量設計值和重構的大樣本計算的經驗設計值間的差異，分析了混合分布模型的適用性。

1 研究方法

1.1 滑動秩和檢驗法

滑動秩和檢驗法[11]是針對傳統秩和檢驗法只能用于判斷給定變異點是否顯著而不能分析變異點位置這一弊端而提出的，其通過對水文極值系列進行逐點分析，然后選取使得檢驗統計量最大且變異顯著的點作為變異點。即通過應用滑動秩和檢驗法，在獲得變異點位置的同時，也可對變異點的顯著性進行檢驗。

1.2 混合分布模型

氣候變化及人類活動的影響，使得不同時期的水文事件的形成過程或形成機制存在差異，也即不同一時期之間水文極值事件的統計規律不一致，而在同一時期內水文極值事件的統計規律差異不顯著。為此，可采用不同的分布函數對不同時期的水文極值系列的統計規律進行描述，再對各時期分布函數進行綜合得到一個統一的分布函數，作為水文極值總體的估計，這是混合分布模型的基本思想。混合分布模型在非一致性水文頻率分析中得到了較多研究[7-10]，其可表示為

關于混合分布模型參數的估計方法較多，如全局優化算法[10]、非線性優化算法[12]、極大似然法[13]等。但當子分布較多時，上述估計方法的應用較為復雜，且參數估計不確定性較大，如當子分布為3個時，需要估計的參數有12個之多，應用上述方法存在較大困難。為此，本文采用簡化方法對各個字分布函數的權重進行估計，即根據各子系列容量占整個系列容量的比例作為各子系列對應的權重系數，即認為在不同時期，導致水文極值系列發生變異的主影響因素及其影響強度是不同的，子系列容量的長短在一定程度上可以反應這些因素的影響程度，因此可用子系列容量占整個系列容量的比例作為其分布函數的權重。

1.3 設計值的經驗估計和基于混合分布模型的理論估計

由于實測樣本系列為1470年-1999共530年，樣本容量較大，為此，可基于此大容量樣本計算給定超過概率下的分位點，作為分位點的經驗估計值。對于給定的觀測值，其對應的經驗超過頻率可采用下式計算：

因為530年的樣本系列容量較大，通過對比分析混合分布的理論估計與基于大樣本的經驗估計，一定程度上可以檢驗混合分布的擬合情況。

2 實例分析

本研究使用的淮河流域1470年-1999年降雨數據，來自于Feng[14]等基于樹輪、歷史記錄等信息重建的亞洲及太平洋地區近600年0.5°網格夏季降雨數據集。根據重建的淮河流域1470年-1999共530年0.5°網格逐年的夏季平均降雨，通過加權平均法求得整個淮河流域夏季的面平均降雨系列。

2.1 變異點診斷

圖1給出了降雨系列的時間系列以及10年和20年滑動平均過程。

在顯著性水平α=0.01下，采用滑動秩和檢驗法對降雨系列的變異點進行檢驗，診斷出第一個可能變異點為1534年，將整個系列在1534年劃分為前后兩段，即“1470年-1534年”和“1535年-1999年”兩個子系列；同樣在0.01顯著性水平下，分別對“1470年-1534年”和“1535年-1999年”兩個子系列的變異點進行診斷，結果表明1470年-1534年子系列無顯著跳躍點存在，而1535年-1999年這段系列，在1724年發生顯著變異。為此，在1724年處，將“1535年-1999年”子系列劃分為兩段，即“1535年-1724年”和“1725年-1999年”兩個子系列；同樣在001顯著性水平下對各個子系列進行逐步檢驗。最終確定1534年、1724年和1923年為系列的三個變異點。

對于本文采用的滑動秩和檢驗法，顯著性水平α越小表示檢驗越嚴格，所以認為整個系列存在三個變異點在統計上具有較高的可信度。另外，楊傳國等[15]通過對淮河500年來的降雨數據分析認為，流域存在3個主要的濕潤期：明代末期 1550年-1590 年、清朝早期 1730年-1780 年、清朝晚期民國初 1820年-1920年。3個主要的干旱期：明代晚期 1470年-1545年、明代末期清朝初期 1615年-1660 年、近現代 1935年-1980 年，即旱澇變異年份大致在1545年-1550年、1590年-1615年、1660年-1730年、1920年-1935年之間。本研究識別出的變異點位置與旱澇變異年份比較吻合，因此，最終確定1534年、1724年和1923年為變異年份，據此份將原系列劃分為“1470年-1534年”、“1535年-1723年”、“1724年-1923年”和“1924年-1999年”四個子系列。

2.2 混合分布函數估計

采用P-Ⅲ型分布函數分別對四個子系列進行擬合，記為F1（x）、F2（x）、F3（x）和F4（x）；采用經驗適線法進行分布參數估計，估計結果見表1，頻率曲線見圖2。

分別根據式（5）和式（7）、式（8）計算重現期為5、10、20、50和100年時降雨量設計值的經驗估計值和混合分布模型計算的估計值，結果見表2。表2中同時給出了經驗估計值和模型計算值之間的相對誤差。由表2可知，關于給定重現期的設計降雨量估計，基于530年樣本系列的經驗估計值與模型計算值差別很小，表明混合分布模型較好地反應了降雨量系列分布特征。

3 結語

氣候變化和人類活動的影響導致不同時期的水文事件的孕育背景存在差異，進而導致水文極值系列的非一致性問題越來越突出，使得現行水文頻率分析方法對水文極值系列的一致性要求難以滿足。本文根據重構的淮河流域1470年-1999年共530年的夏季面平均降雨大樣本系列，對混合分布模型在非一致水文頻率分析中的適用性進行了應用研究，主要結論如下。

（1）混合分布模型認為非一致性水文極值的概率分布函數，可以通過綜合樣本系列中若干個一致性子系列的分布函數估計得到，從而以一個統一的概率分布函數描述非一致性水文極值的總體特征，為解決變化環境下水文分析計算問題提供了一種新的思路。

（2）對淮河流域1470年-1999年共530年的降雨大樣本分析表明，降雨系列在1534、1724和1923年發生跳躍性變異，據此對原系列劃分了4個子系列，估計了各子系列的分布函數并推求了其混合分布，作為流域未來降雨量的總體分布。

（3）對比分析混合分布模型估計的理論設計值與基于大樣本系列（530年）的經驗設計值，兩者相對誤差較小，表明混合分布模型對樣本系列具有較好的擬合效果。

參考文獻（References）：

[1] Petra S F，Felix N.More frequent flooding？ Changes in flood frequency in Switzerland since 1850[J].Journal of Hydrology，2010，381：1-8.

[2] 胡義明，梁忠民，楊好周，等.基于趨勢分析的非一致性水文頻率分析研究[J].水力發電學報，2013，32（5）：21-25.（HU Yi-ming，LIANG Zhong-min，YANG Hao-zhou，et al..Study on frequency analysis method of non-stationary observation series based on trend analysis[J].Journal of Hydroelectric Engineering，2013，32（5）：21-25.（in Chinese））

[3] 梁忠民，胡義明，王軍.非一致性水文頻率分析的研究進展[J].水科學進展，2011，22（6）：864-871.（LIANG Zhong-min，HU Yi-ming，WANG Jun.Advances in hydrological frequency analysis of non-stationary time series[J].Advances in Water Science，2011，22（6）：864-871.（in Chinese））

[4] Strupczewski W G，Singh V P，Feluch W.Non-stationary approach to at-site flood frequency modeling I.Maximum likelihood estimation[J].Journal of Hydrology，2001，248：123-142.

[5] Richard M V，Chad Y，Meghan W.Nonstationarity：flood magnification and recurrence reduction factors in the United States[J].Journal of the American Water Resources Association，2010，47（3）：464-474.

[6] Gabriele V，James A S，Francesco S，et al.Flood frequency analysis for nonstationary annual peak records in an urban drainage basin[J].Advances in Water Resources 2009，32：1255-1266.

[7] Waylen P，Woo M K.Prediction of annual floods generated by mixed processes[J].Water Resources Research，1982，18 （ 4）：1283- 1286.

[8] Diehl T，Potter K W.Mixed flood distribution in Wisconsin[A]/ / SINGH V P.Hydrologic Frequency Modelling[C].Netherlands：D.Reidel Publishing Company，1987：213- 226.

[9] 馮平，曾杭，李新.混合分布在非一致性洪水頻率分析的應用[J].天津大學學報：自然科學與工程技術版，2013，46（4）：298-303.（FENG Ping，ZENG Hang，LI Xin.Non-stationary flood-frequency analysis based on mixed distribution[J].Journal of Tianjin University：Science and Technology，2013，46（4）：298-303.（in Chinese））

[10] 成靜清，宋松柏.基于混合分布非一致性年徑流序列頻率參數的計算[J].西北農林科技大學學報：自然科學版，2010，38（ 2）：229-234.（CHENG Jing-qing；SONG Song-bai.Calculation of hydrological frequency parameters of inconsistent annual runoff series based on mixed distribution[J].Journal of Northwest A & F University：Nature Science Edition，2010，38（ 2）：229- 234.（in Chinese））

[11] 謝平，陳廣才，雷紅富.水文變異綜合診斷系統[J].水力發電學報，2010，29（1）：85-91.（XIE Ping，CHEN Guang-cai，LEI Hong-fu.Hydrological alteration diagnosis system[J].Journal of Hydroelectric Engineering，2010，29（1）：85-91.（in Chinese））

[12] Singh K P.A versatile flood frequency methodology[J].Water International，1987，12 （3）：139-145.

[13] Rossi J，Fiorentino M，Versace P.Two- component extreme value distribution for flood frequency analysis[J].Water Resources Research，1984，20（ 7）：847-856.

[14] Feng S，Hu Q，Wu Q，et al.A gridded reconstruction of warm season precipitation for Asia spanning the past half millennium[J].Journal of Climate，2013，26（7）：2192-2204.

[15] 楊傳國，陳喜，張潤潤，等.淮河流域近 500 年洪旱事件演變特征分析[J].水科學進展，2014，25（4）：503-510.（YANG Chuan-guo，CHEN Xi，ZHANG Run-run，et al.Characteristics of flood and drought events of the last half millennium in Huaihe River basin[J].Advances in Water Science，2014，25（4）：503-510.（in Chinese））