負數起源的中外比較與研究

徐興國

摘 要 本文介紹了負數在中、西方的起源及其發展過程中各自的特點，指明了中、西方在負數定義上時間跨度大，定義的方式方法也存在很大差異，進而分析了造成時間跨度大、定義方式差異的原因。接著介紹了中外負號記法的演變，“﹣”符號含義：負號、減號、相反數，深刻反映了數學運算的對立統一，是人類智慧的高度結晶，是一個偉大的發明，為日后運算式的簡潔表達和變形奠定了基礎。

關鍵詞 負數 起源 矛盾 運算法則 負負得正

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.03.018

A Comparative Study of the Origin of Negative Numbers

XU Xingguo

（Normal School of Yangzhou Polytechnic College， Yangzhou， Jiangsu 225600）

Abstract This paper introduces the negative number in the origin and development of the West and their respective characteristics， pointed out in the west， in the time span of negative definition， method of defining the way there is big difference， and then analyzes the causes of the time span， the definition of style differences. Then it introduces the evolution of Chinese and foreign sign notation， "-" symbol meaning： minus， minus， opposite number reflects the unity of opposites， mathematics， is the crystallization of human wisdom， is a great invention， laid the foundation for the concise expression and expression of the day after deformation.

Keywords negative number； origin； contradiction； operation rule； two negatives make a positive

從數學史中數系的發展歷程來看，人們比較關注的是自然數，無理數等數集的產生過程。其中負數并沒有作為一類特殊的數集單獨去研究。然而從負數的產生，到負數運算律的成熟，再到負數被大眾接受經歷了相當長的一段時間。不僅如此，在負數的產生時間，產生方式上，東、西方的認識差異也很大。

1 負數在中國的起源

在中國，負數起源的文字記載可追溯到春秋戰國時李悝的《法經》：“今一夫挾五口，治田百畝，歲收畝一石半，為粟百五十石，除十一之稅石，余百三十五石。食：人月一石半，五人終歲為粟九十石，余有四十五石。石三十，為錢千三百五十。除社閭嘗新春秋之祠用錢三百，余千五十，衣：五人終歲用千五百，不足四百五十。”計算最后出現了“不足數”，為負數概念的形成提供了原始的雛形。

到了漢代，從居延出土的漢簡中我們發現了這樣的例子：“萬歲侯長充，受管錢它課負四，勿自言堂煌者第一得七，相除它得三。”這里同時出現“負”和“得”意義正好相反的兩個動詞，得七與負四相比較，結果得三。這個例子為負數的形成做好了更加充足的準備。

以上記載都不是出自于專業的數學典籍，更加詳實、專業的記載來自于《九章算術》：今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實滿斗。問：上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實二十五分斗之九，中禾一秉是二十五分斗之七，下禾一秉實二十五斗分之四。

術曰：如方程。各置所需。以正負術入之。

上面是《九章算術》的原文記載，翻譯成我們現在的白話文：現有上等稻2捆，中等稻3捆，下等稻4捆。各自出谷都不足1斗。如果三種稻分別依次借取中等稻、下等稻、上等稻各一捆，那么出谷都恰好1斗，問三種稻每捆出谷各有多少？

答：上等稻每捆出谷斗，中等稻每捆出谷斗，下等稻每捆出谷斗。

解法：按方程法則求解：分別列出所借取之數，再按正負法則運算。

分析作者解方程的具體步驟，抓住核心。那就是：在運用《九章算術》方程術中消元法解這個問題時，遇到了一個較小正數減去一個較大正數的情況，產生了一類新的數：負數。此外，東漢末年劉烘（206年）、唐代王孝通（626年）、宋代揚輝（1261年）也論及了正負數加減法，都與《九章算術》所說的完全一致。

此時，我們對負數運算的認識僅停留在加減法上，負數的乘除問題尚無文字記載。所以我們至少可以說中國數學在九章算術的時代里對負數乘除法的理解還不成熟，這個問題的解決還有待后來人。可是這個問題一直被人們擱淺，一直到秦漢時代包括劉微在內的數學家都是小心謹慎，避免出現負數乘除問題。到了唐宋，出現了不定方程、同余方程、高次方程的討論，其中《輯古算經》提出了三次和四次方程正根的一般解法，但對負根只字未提。劉益著《議古根源》提出了正負開方術，仍回避了負數乘除運算。到了元代時，著名數學家朱世杰在《算學啟蒙》（1299）中第一次明確提出有關負數乘法的運算律：同名相乘為正，異名相乘為負。但這距離負數加減運算律的首次文字記載的東漢已有一千多年。

在數學家朱世杰《算學啟蒙》出版后的四百多年后，李悅（1768-1817）明確提出方程的根可以是負數，并進一步論斷：“凡平方（二次方程）皆可開二數，立方（三次方程）皆可開三數或一數，三乘方（四次方程）皆可開四數或二數。”這是中國數學史上第一次指出方程有負根的文字記載，是將負數乘法運算律熟練運用的佐證。

2 負數在西方的起源

古希臘是孕育西方數學的搖籃， 就是希臘文字中負數的意思。歐幾里德的《幾何原本》（公元前300年）共十三卷，雖然主要是幾何方面的專著，但也有論述算術的內容，其中第七卷到第十卷就是有關數論和無理數方面的內容，但沒有涉及負數的任何線索，從中可以斷定，那時西方的主流數學還沒有涉足負數領域。

有“代數之父”之稱的丟番圖（公元275年左右）是古希臘另一位杰出數學家，在其著作《算術》中把方程的負數解說成是“荒謬的東西”。這是一個非常珍貴的記載，因為從目前發現的早期西方文獻中我們很難再找到提及負數的記載，書中提及的“荒謬的東西”就是今天我們所說的負數。因為早起西方數學不認為“零”是數，更不用說負數了，雖然還沒有被接受，但至少“荒謬的東西”說明負數已經引起某些數學家的關注。另外需要我們注意的是：丟番圖是在方程的解這個情境中提及“荒謬的東西”，這是完全符合實際的，因為負數解在實際的問題中常常要舍去，但是從方程的運算規律出發，它又是符合的，這說明丟番圖時代已經對負數的運算有了初步的認識與思考，但計算的結果又讓人匪夷所思，所以給負數扣上了“荒謬的東西”的帽子。不過對新生事物的接受總是要經過一番比較、權衡和實踐的考驗，對負數的引入和進一步的研究只是時間問題，回避已是不可能。可是誰可曾想到，這一等竟等了一千多年。在西方第一個提出負數概念的是德國數學家米哈依爾.史提非（1486-1567），他在發表數學論文《整數算術》中，把負數定義為“比零小的數”，這個概念被數學界廣泛接受，并沿用至今。

然而事情并非到此結束，負數在西方數學界還是長期格格不入，爭議達幾個世紀之久，其中不乏幾位知名數學家。例如：德國數學家M.Stifel（約1487-1567）認為負數是無稽之談，虛無的零下。法國數學家韋達（F.Vieta，1540-1603）完全排斥負數概念，法國數學家施蒂費爾（B.Pascal，1623-1662） 則認為從0減去4，純屬胡言亂語。法國數學家阿爾諾德（A.Arnauld，1612-1694）接受不了﹣1︰1=1︰﹣1的說法：“既然﹣1小于1，較小數與較大數之比，怎么可能等于較大數與較小數之比？”1637年，法國的笛卡兒（Descartes，1596-1650）開創了解析幾何，創建了坐標觀念，負數得到了具體和直觀的解釋。盡管如此，到18世紀、19世紀懷疑或否定負數者仍有不少。英國數家馬塞雷（B.F.Maseres，1731-1824）是劍橋大學數理學院研究員和皇家學會會員，在1759年發表《專論在代數中的負號》，他力主舍去方程的負根。他認為：負根只會把方程的整個理論搞得模糊，因此希望代數里絕不容許有負根。可是我們現在已經知道，若不正視負數和復數，就不可能有代數基本定理的誕生，這個定理在代數乃至整個數學中都起著基礎作用，其意義重大而深遠。1831年倫敦大學數學系教授德·摩根（A.De Morgan，1806-1871）在他的《論數學的研究和困難》中說：虛數和負數，有相似之處，只要一涉及到實際的含義，二者都是同樣的虛構，因為和同樣是不可思議的。德·摩根還舉了一個問題來說明其論點：“父親56歲，他的兒子29歲，問什么時候父親的歲數是兒子的兩倍？”他列出方程56+x=2（29+x），得x=﹣2。這個解在實際問題中雖然沒有意義，但是并不能否定﹣2是方程56+x=2（29+x）的解，只是需要我們對得出的解考慮是否符合實際情況，若不符合則要舍去。當然，到此時像德·摩根那樣排斥負數的人已經不多了，同時隨著19世紀整數理論基礎的建立，負數在數理邏輯上的合理性已經建立。

從反對負數的聲音中我們不難發現：一方面負數的引入顛覆了一些原有自然數運算的性質：如比例的大小關系、運算律等，然而不破不立，只有打破原有的框框條條才會有更有生命力的事物產生，這些例子在數學史上不勝枚舉，不管反對的聲音有多大，負數作為一類很重要的數集在隨后的時間里已經越來越被人們所接受。另一方面是負數作為方程的解是否有意義，正如德·摩根例舉的問題，在具體的實例中，負數解要根據具體的實際情境進行取舍，而不該全盤否定，現在的中學生都能明白這個道理，這就是人類理性文明前進的印記。

3 中、西方的比較

3.1 定義負數概念時間跨度大的原因

在中國，劉徽（約公元225年—295年），在給《九章算術》中“正負術”作注時，第一次給正數和負數下了定義：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”意思是在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分。在西方第一次給負數下定義是在15世紀，德國數學家米哈依爾.史提非（1486-1567）在數學論文《整數算術》中把負數定義為“比零小的數”。從文字記載來看，中國對負數的定義要比西方早一千多年，這是為何？這與中西方的思想文化內涵有著必然聯系。

先秦時代是中國歷史上第一次思想大爆炸的時期，各種思想競相涌現、百家爭鳴。學者們勇于提出自己的想法，供大家來討論，自然會有爭辯，針尖對麥芒的情況，更多的是各抒己見，求同存異。秦始皇“焚書坑儒”，推崇法家思想，但其法家思想并沒有稱為華夏文明后來的主導思想，經歷秦朝，到了西漢，漢武帝出于政治統治的目的采納了董仲舒的 “罷黜百家，獨尊儒術”的方針策略，從此儒家思想成為兩千多年來中國傳統文化的一支主流思想。儒家學派的核心思想是中庸之道，這種不左不右，不偏不倚的折中思想具有極大的包容性，能夠容忍與自己不同的觀念和思想。

早期西方數學的興起發展與西方哲學和天文學有密不可分的淵源，有大名頂頂的思想學術流派和精神領袖，例如柏拉圖學派、畢達哥拉斯學派等，在他們看來，數學是一門神圣和純粹的學科，容不下半點的雜質，所以一旦有與現有思想或知識相左的意見時，大家就群起而攻之，典型的例子就是：希伯索斯（Hippasus）發現無理數后，被視為違反學派章程而被處死，其罪名等同于“瀆神”。隨著社會的進步，人們漸漸有了言論的自由，學術氛圍自然也向著積極健康的道路前行，學者們勇于提出自己的新發現。可是有一點還是沒有改變，那就是會引來大批的懷疑，當伽利略站在埃比爾斜塔上，兩顆鐵球同時落地時，真理才被人們接受。數學被大眾接受可沒有那么簡單，特別是負數的提出，會給以往運算法則帶來很多的棘手問題，在有些情況下列式解方程后得到的解又沒有意義，所以當負數的觀念初步形成后，西方數學界紛紛提出反對的聲音。負數的形成和發展過程非常符合西方的人文特點：大膽的質疑，勇于提出反對意見。正是西方學者對傳統數學思想方法和結論的大膽質疑，才有了數學史上三次數學危機的產生和解決，從而推動了西方數學乃至世界數學的迅速發展。

中國思想文化的包容性決定了負數概念早早的被人們接受，同樣也正是這種思想文化決定了諸如“三次數學危機”那樣的現象不可能在中國出現。與中國截然不同，同樣是負數的接受問題，放在西方，就像是炸開了鍋，學者們紛紛提出反對意見。正是這種文化背景與人文精神的差異造成了中西方對負數認識和接受的時間跨度如此之大。

3.2 定義角度的不同

中國對負數的定義：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”西方對負數的定義： “比零小的數。”

中國對負數的定義是從得失的兩面出發，當一方為正，另一方則稱之為負，很顯然這種定義直接來自于實際生活，比如糧食的借與還，帳戶中錢的進與出等等，這反映了正數和負數互為相反數。這種定義方式，有生活化的實例，很具體。“相反意義的量”，是性質對立的一種描述，具體到數學中還需要進一步再判斷，這也表明當時人們對數的理解還沒有從現實的量中抽象出來。

西方對負數的定義是純粹從數的角度出發，是在對零的充分認識和實數序的深刻理解的基礎上對負數作出的定義，比較專業。這反映了人們對實數的認知過程，首先是正數，接著是零，再接著是負數，同時也定義了它們的大小關系。用它們之間的大小關系作為區分它們的本質屬性，這種建立在實數域上的大小關系直觀體現就是數軸。值得一提的是《現代漢語詞典》中采用了西方的定義方式。這從一個側面反映了西方對負數定義的影響力，同時也是對數學專業名詞回歸專業定義的認可。

中國的數學注重的是實際的應用，《周髀算經》、《九章算術》都是以解答實際問題展開的，西方的《幾何原本》則是以公理化的邏輯推理展開的。這種思維方式也深深影響了中、西對負數的定義方式，同樣也深深的影響了中、西方的數學發展方向，我們無法說明其孰優孰劣，因為理論和應用的研究本來就是相輔相成、必不可分的，但從搭建宏偉的數學大廈的角度來說，對理論的研究往往更契合數學的精神，這也是為什么數學會作為基礎學科中的基礎學科。德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）是19世紀和20世紀初最具影響力的數學家之一，是數學理論與數學應用的集大成者，盡管在數學應用中取得了非常驕人的成就，但他自己本人還是更鐘情于數學理論。他是數學公理化體系的發起者和積極倡導者，他的這種數學思想引領了后來世界數學的發展方向。公理化體系中一個很重要的原則就是“相容性”，也就是不能有矛盾的地方，當負數提出后，打破了原有的一些運算規則，而這些規則并不是數學運算中的本質屬性，只是局部性質。由于眼光局限于局部，而沒有著眼于整體，引起眾多西方數學家反對，這也是為什么負數遲遲不能被西方數學家接受的原因之一。

3.3 負數記號的演變

數學是一種語言，如何簡潔明了的表達負數？各個時期，各個國家都有各自不同的表達方式。中國《九章算術》中記載：用紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數 。這種用不同顏色的數表示正負數的習慣，一直保留到現在。不過現在國際上一般用紅色表示負數，報紙上登載某國經濟上出現赤字，表明支出大于收入，財政上虧了錢；在印度，婆羅摩笈多（Brahmagupta，589～660）用小點或小圈記在數字上表示負數；意大利數學家卡爾達諾（G.Cardano，1501-1576）在他的著作《大術》中把負數負3記為m：3，正數3記為p：3；到1585年荷蘭數學家斯蒂文（Stevin，1548-1620）在他的著作《算術》中第一次使用負數記號“-”，將負3記為﹣3，最終成為國際通用的負數符號，并一直沿用至今。

千萬不要小看用 “-”表示負號，這在數學史上具有里程碑的意義。當然這種記號比以往的負數記法簡潔，更重要的是它將減號與負號的內在聯系統一到了一起。具體來講，﹣3可以看作0﹣3的結果。自然的我們可以將2 +（﹣3）看作2﹣3。2+（﹣3）中的“﹣”是負號的含義，2﹣3中的“﹣”是減號的含義，這就將負號和減號統一起來，實現互相的轉換，為日后算式的簡潔表達和變形奠定了基礎。

用“-”表示負號也將負號與相反數聯系起來，例如：﹣3可以看作負3，也可以看作3的相反數，這樣由﹣3的相反數是3，就可以得到﹣（﹣3）=3，于是我們就直觀的得到“負負得正”，再將﹣（﹣3）= 3改寫為（﹣1）€祝ī？）=3就可以推廣到一般的負數與負數相乘的情況。

負數與負數的乘法是初中數學教學的一個難點，對此數學教育名家有關很多關于這方面的論述，這其中運用了“﹣”符號含義的轉變，即負號，減號，相反數。所以說“﹣”的確定深刻反映了數學運算的對立統一，是人類智慧的高度結晶。

4 小結

眾觀中西方數學史，我們發現中國最早提出負數的概念，也最先對加減法的運算法則做了精確描述，早于西方國家一千多年，負數的引入是中國數學家杰出的貢獻，但是對負數乘除的運算法則的提出較晚。與中國相比，西方國家對負數的提出較晚，但是對負數乘除的運算法則的文字記載要早于中國。

江蘇省現代教育規劃課題（編號2011-R-9631）

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