導體球面感應電荷的電場與靜電屏蔽

沈華嘉 江俊勤

(廣東第二師范學院物理與信息工程系,廣東 廣州 510303)

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·現代教學技術·

導體球面感應電荷的電場與靜電屏蔽

沈華嘉 江俊勤

(廣東第二師范學院物理與信息工程系,廣東 廣州 510303)

基于疊加原理, 用數值分析法研究了導體球面感應電荷的電勢和電場強度的空間分布.用圖像直觀地說明導體球面感應電荷電場的有趣性質:在球外,感應電荷的電場正好等于像電荷所激發的電場;在球內,感應電荷的電場又剛好與源電荷的電場相互抵消,以保證導體內無電場——靜電屏蔽.本文糾正了中學物理論文中關于接地導體球面感應電荷分布的錯誤表述.

感應電荷的電場;疊加原理;橢圓積分;像電荷;靜電屏蔽

在接地導體球附近放一個點電荷(以下稱之為“源電荷”),是靜電學里最典型最重要的例子,有電像法[1-3]和分離變量法[4]等多種解法,最巧妙的解法是電像法:用一個像電荷代替球面上感應電荷對球外電場的貢獻,簡單地得到了球外電勢的空間分布,從而也就求得了電場強度的分布.

但是,對于“球面上的感應電荷在導體球內部所激發的電場怎樣分布”的問題,電像法只能避而不談,或者干脆說:[5]電像法不能用來求解像電荷所在區域——導體球內部的電場. 當然,根據“靜電平衡的導體內無電場”這個大道理,可以反推得出論斷“感應電荷在導體球內部所激發的電場必定與源電荷的電場處處相抵消”. 這個論斷固然符合事實,但這種“說理”過于唯象和“生硬”,還是讓人感覺到某種遺憾. 能不能通過具體的計算來說明上述論斷呢?

由電像法得到的球外電勢,容易求出球面感應電荷的分布. 本文中我們將利用所求得的球面感應電荷分布表達式,由疊加原理,通過Mathematica9.0的符號積分、數值積分以及數字繪圖相結合,反過來計算球面上感應電荷所激發的電場、用直觀的立體圖來說明球面上感應電荷所激發的電場的有趣性質. 實現這一計算并把結果繪制成圖像,對于理解這個系統的電場分布規律以及“靜電屏蔽”的機理是有幫助的.

1 球面感應電荷面的密度與電勢表達式

源點電荷+q放在接地導體球附近,與球心距離為a,導體球的半徑為R,建立如圖1所示坐標系,以球心為坐標原點,z軸過源點電荷. 根據電像法的結果,球外電勢為

圖1 在接地導體球附近放一個點電荷

(1)

由式(1)可求得球面感應電荷的面密度

(2)

球面上點S的直角坐標為x′=Rsinθcosφ,y′=Rsinθsinφ,z′=Rcosθ,觀測點P(x, 0,z)到S點的距離為

(3)

其中面積元dS=R2sinθdθdφ的電荷量為dq′=σdS=R2σ(θ)sinθdθdφ.

這個系統具有軸對稱性,只需研究y=0平面上任一點P(x, 0,z)的電場分布. 由疊加原理得球面感應電荷在觀測點P(x, 0,z)處激發的電勢為

(4)

2 球面感應電荷和全部電荷的電勢空間分布

式(4)是一個十分復雜的二重積分,尋找有效的計算方法是本研究的關鍵.

先對式(4)中的φ進行積分,把結果表示為第一類完全橢圓積分K(φ)，

(5)

再把式(5)代入式(4),用標準的數值積分法對θ做積分計算并進行數字化繪圖,就可以得到電勢UG的空間分布圖. 由于本節的重點是計算球面感應電荷激發的電勢UG,所以筆者同時繪制了UG分布圖和-UG分布圖,以便從上下兩個角度來觀測它,在實際計算時,取R=0.5a, 并以a為長度單位、U0=q/(4πε0a)為電勢單位,則結果如圖2和圖3所示.

接著給出源點電荷電勢為

的分布圖,如圖4所示,當觀測點趨近點電荷時,電勢趨于無窮大,但圖形只能畫出有限的值,Mathematica會在所設定的范圍內自動截斷,形成整齊的頂部,這是由于采用點電荷模型造成的.

圖2 球面感應電荷激發的電勢

圖3 -UG分布圖

圖4 源點電荷電勢UD的分布圖

最后給出UD和UG的疊加結果,如圖5所示.

3 電場強度的空間分布

電場強度是矢量,如果直接用庫侖定律和疊加原理來計算,則積分過程過于復雜、難以進行,利用電場強度與電勢的關系,計算會方便得多.由

E=-(UD+UG)，

得

(6)

(7)

圖5 UD和UG的疊加結果

圖6 電場強度大小E=Ex2+Ez2的分布圖

4 結論與討論

從圖2和圖3可見,球面上感應電荷的激發的電勢是有限大小的(-2.5

UD和UG的疊加結果的電勢分布圖(圖5)直觀顯示:球內(在y=0平面上為圓內)的電勢恒為0,球外電勢大于0,球面內外電勢在球面處連續.

圖6所示的總電場強度大小分布圖(即源點電荷和球面上感應電荷的總貢獻)清楚表明:球內的電場恒為0,球面內外電場突變,特別是在靠近點電荷的球面內外兩側,電場突變最強,這說明該處球面的感應電荷密度(絕對值)最大;而在離點電荷最遠的球面內外兩側,電場突變最弱,這說明該處球面的感應電荷密度(絕對值)最小,但仍然有少量感應電荷.然而,有的中學物理論文[6]卻錯誤地認為“遠端的負電荷導入大地”,即被大地的異性電荷中和了.

電場強度方向分布與等勢線圖(圖7)顯示:表示電場強度方向的每個箭頭都與所在點(所在點是箭頭的起點,不是末端點)處的等勢線相互正交,而且在導體球面上(在y=0平面內為圓周上)的箭頭都指向球內(圓內),這直觀地說明感應電荷都是負電荷.

圖7 電場強度方向和等勢線的分布圖

以上這些結果雖然都在預料之中,但面對Mathematica所給出的如此精美的圖案,仍然會令人驚訝,感嘆Mathematica在電場數字化上的強大表現力.

圖6和圖7形象直觀地表明:球面上按照式(2)分布的感應電荷所激發的電場很奇特: (1) 它在導體球外正好等于像電荷(電荷量q′=-qR/a的點電荷)所激發的電場; (2) 在導體球內又剛剛好與源電荷的電場相互抵消,使得導體內電場強度處處為0(展示了導體表面電荷分布與導體是等勢體的微妙關系),這就是靜電屏蔽的實質.

1 郭碩鴻. 電動力學[M]. 北京:人民教育出版社,1979:73-74.

2 林璇英,張之翔. 電動力學題解[M]. 北京:科學出版社,2007:210-212.

3 杰克遜. 經典電動力學(上冊) [M]. 朱培豫譯. 北京:高等教育出版社,1978:61-63.

4 鄭春開. 電動力學解題指導[M]. 北京:北京大學出版社,2004:39-40.

5 張洪欣,沈遠茂，韓宇南.電磁場與電磁波[M]. 北京.清華大學出版社, 2013:118-124.

6 趙建昌,許效專. 再談靜電平衡中的幾個問題[J]. 物理教學探討, 2000(2):34-35.

2016-11-10)