勻質(zhì)半球面和半球體質(zhì)心位置的一種巧解

茍?jiān)姾?李忠相

(重慶市第一中學(xué)校,重慶 400030)

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勻質(zhì)半球面和半球體質(zhì)心位置的一種巧解

茍?jiān)姾?李忠相

(重慶市第一中學(xué)校,重慶 400030)

本文介紹一種回避積分求解勻質(zhì)半球面和半球體質(zhì)心位置的方法,主要運(yùn)用了祖暅原理、自相似法、公式法和負(fù)質(zhì)量法等．

質(zhì)心的求解; 祖暅原理; 自相似法; 負(fù)質(zhì)量法

在學(xué)校組織的一個(gè)物理系列講座中老師介紹了物體質(zhì)心位置的一些常見(jiàn)求解方法,例如公式法、負(fù)質(zhì)量法、自相似法以及巴甫斯定理等．作為示例,求解了勻質(zhì)半圓環(huán)、勻質(zhì)半圓板等物體的質(zhì)心位置,最后老師給出了一道拓展思考題:求解勻質(zhì)半球面和半球體的質(zhì)心位置．

經(jīng)過(guò)初步的思考,筆者發(fā)現(xiàn)這的確是一道難題．于是用了4天時(shí)間,從不同的角度進(jìn)行思考,在基本方法和這個(gè)問(wèn)題間建立聯(lián)系,最終通過(guò)4步轉(zhuǎn)化或分解,終于將這個(gè)問(wèn)題解決了,具體方案如下．

第1步,用祖暅原理轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

祖暅,中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,祖沖之之子．他提出“冪勢(shì)既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等,這就是著名的祖暅原理．他由這個(gè)原理,成功地得到了球的體積公式．

這里,仿照祖暅的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．圖1甲中為一個(gè)半徑為R的半球體,乙圖是底面半徑為R、高也為R的圓柱再挖去一個(gè)底面半徑為R,高也為R的圓錐之后的形狀．

圖1 祖暅原理示意圖

不難得到,在甲、乙兩圖中,距離頂面任意高度h處的水平截面(圖中陰影部分)的面積都一樣,均為

Sh=π(R2-h2).

(1)

不難判斷,左右兩種形狀的質(zhì)心一定在同一高度處．對(duì)于右側(cè)形狀,圓柱的質(zhì)心位置是顯然的,只需要進(jìn)一步求解圓錐的質(zhì)心位置,即可找到整體質(zhì)心的位置．

第2步,用自相似法求解勻質(zhì)圓錐質(zhì)心.

圖2

如圖2所示,考慮一個(gè)高為H、底面半徑為r的勻質(zhì)圓錐,建立以頂點(diǎn)為原點(diǎn)、豎直向下為正方向的y軸,記其質(zhì)心的坐標(biāo)為yc．若在圓錐底面以下再繼續(xù)填充一密度相同的薄層,讓其形成一個(gè)高為H+ΔH、頂角不變的新圓錐．

新圓錐的質(zhì)心位置可以由公式法給出(由于新增部分的厚度極小,可將其視為高度極小的圓柱,其質(zhì)心的坐標(biāo)可仍記為H)，即

(2)

式中m和Δm分別為原圓錐和新增部分的質(zhì)量,容易得

(3)

另一方面,新圓錐又可視為由原圓錐等比例放大的結(jié)果,所以新圓錐的質(zhì)心位置又可記為

(4)

聯(lián)立以上幾式,可得

(5)

考慮到ΔH極小,

(6)

第3步,用負(fù)質(zhì)量法求解勻質(zhì)半球體質(zhì)心.

圖1乙圖,可視為實(shí)心圓柱與負(fù)質(zhì)量圓錐的疊加,再利用公式法,可求該系統(tǒng)的質(zhì)心,即

(7)

式中m1和m2分別為整個(gè)圓柱和內(nèi)挖圓錐部分的質(zhì)量．有

(8)

代入(7)式,即得

(9)

第4步,仿照祖暅原理求解勻質(zhì)半球面質(zhì)心.

圖3(甲)中為一個(gè)半徑為R的勻質(zhì)半球面,右邊是底面半徑為R、高也為R的勻質(zhì)柱形圓筒．

在圖3(甲)圖中,從角度θ到θ+Δθ(Δθ極小)對(duì)應(yīng)的環(huán)帶,其周長(zhǎng)可視為2πRcosθ,寬度為RΔθ,它的面積為

圖3 仿照祖暅原理轉(zhuǎn)化半球面

ΔS1=2πRcosθ·RΔθ.

(10)

在圖3(乙)圖中,總能找到一個(gè)與上述環(huán)帶處在同一水平高度處的環(huán)帶,其周長(zhǎng)為2πR,寬度為甲圖中環(huán)帶寬度在豎直方向的投影,即

Δh=RΔθ·cosθ.

(11)

于是,易得乙圖中對(duì)應(yīng)環(huán)帶的面積為

ΔS2=2πR·RΔθcosθ.

(12)

1 欒麗，李忠相.構(gòu)造相似系統(tǒng) 巧解物理難題[J].物理教學(xué),2016,37(1):48-49.

2016-12-08)