Addition-Min合成模糊關系方程的解集

屈小兵， 孫 峰

（樂山師范學院 數學與信息科學學院，四川 樂山 614000）

Addition-Min合成模糊關系方程的解集

屈小兵， 孫 峰

（樂山師范學院 數學與信息科學學院，四川 樂山 614000）

文章主要討論了Addition-min合成模糊關系方程的解集的性質，得到了方程存在最大解和最小解的一些條件，給出了極大解和極小解的結構。

Addition-min合成模糊關系方程；解集；極大解；極小解

0 引言

自1976年E.Sanchez[1]首先提出并研究了完備Brouwerian格上的max-min合成模糊關系方程后，很多學者對完備Brouwerian格上的不同合成算子的模糊關系方程進行了深入的研究[2-5]。現在模糊關系方程已被廣泛應用于模糊邏輯推理和圖像處理等很多領域[6-8]。最近，Li和Yang[9-10]等針對實驗室點對點網絡優化管理問題進行了研究，建立了一個以Addition-Min合成模糊關系不等式組為約束條件的優化模型，并通過研究Addition-Min合成模糊關系不等式的解集的性質得到了求解該模型最優解的一種方法。此后，Yang[11]等改進了這個模型，并得到了求解模型最優解的一種方法。從他們對模型最優解的研究可知最優解與模糊關系不等式的極小解緊密相關，而不等式的極小解又與對應的Addition-Min合成模糊關系方程的解有直接聯系。所以為能更好地求解模型，本文將主要研究Addition-Min合成模糊關系方程的解集的性質。

設實驗室有n個用戶終端，每一個用戶可以從其他任一終端下載數據，同時也對其他終端共享自己的數據，這是一個點對點的實驗室網絡系統。設A1，A2，…An為n個用戶終端，aij表示終端Ai與Aj之間的帶寬，xj表示第j個終端發送信息的質量水平。因為帶寬有一定的限制，所以終端Ai從Aj下載數據的實際速度為，如果Ai從其他終端下載數據的最低速度需求為b（ibi＞0），那么包含n個終端的實驗室點對點網絡系統可以表示為：

其中aii=0，i=1，2，……n。一般的Addition-Min合成模糊關系不等式如下：

為計算方便，規定aij，xj∈[0.1]，bi＞0，i∈I={1，2，…，m}，j∈J={1，2…，n}.系統(2)也可以記為Ax≥b，其中

或者A?x=b，其中“?”表示Addition-Min合成。記方程(3)的解集為和X*分別表示方程(3)的極大解集和極小解集。

1 預備知識

為討論方便，本節先給出一些預備知識。

證明：設a，b，c∈[0，1]，下面分兩種情況討論：

1）若b+c≤a，則b≤a，c≤a，從而

另外，如果a≥b+c，則由前面的證明可知

引理1.1說明Addition和Min這對算子不滿足分配律，所以Addition-Min合成模糊關系方程與Max-Min等合成模糊關系方程的解集性質具有較大差異。

2 主要結論

下面主要討論系統(3)的一種特殊情況，即|I|=1，方程為

證明：結論顯然成立。

則x是方程(4)的一個極大解。

所以x∈X。

矛盾。所以?i∈J，yj=xj.因此y=x，即x是一個極大解。

注2.2方程的極小解一般有無窮多個，如在例2.1中，

顯然，｜X*｜=∞。另外，方程的極小解可能也是極大解，如在例2.1中，（0.8,0,0,0）′，（0.7,0.1,0,0）′∈X*。由此可知，Addition-min合成模糊關系方程的解集刻畫比其他合成模糊關系方程要復雜。對一般的方程A?x=b，有解的時候不一定有最大解或者最小解，所以有解的判定就比較困難。

例2.2 在方程組A?x=b中，其中

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Solution Sets of Fuzzy Relation Equations with Addition-Min Composition QU Xiɑobinɡ，SUN Fenɡ

（School of Mathematics and Information Science，Leshan Normal University，Leshan Sichuan 614000，China）

In this paper，some properties of solution sets of fuzzy relation equations with Addition-Min Composition are discussed，and some conditions for the existence of maximal solution and minimal solution are obtained.Furthermore，the structure of maximal solutions and minimal solutions are given.

Fuzzy Relation Equations with Addition-Min Composition；Solution Set；Maximal Solution；Minimal Solution

O159

A

1009-8666（2017）04-0006-05

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.04.002

［責任編輯、校對：李書華］

2017-04-10

四川省科技廳應用基礎項目“完備格上Fuzzy關系方程的求解及其應用”（2016JY0235），“基于多目標和雙層規劃的個性化推薦系統模型和算法研究”（2017JY0208）；四川省教育廳項目“分數階微積分理論及其應用研究”（16TD0029），“半線性空間及其應用研究”（16ZA0303）；樂山師范學院科研項目“半線性空間上模糊關系方程的求解”（Z1411）

屈小兵（1974—），男，湖南永州人。樂山師范學院副教授，博士，研究方向：格上方程；孫峰（1985—），男，四川西昌人。樂山師范學院副教授，碩士，研究方向：模糊算子。