復平面閉曲線的繞數及其應用

林慶澤， 尚亞東

（1.廣東工業大學 應用數學學院，廣東 廣州 510520；2.廣州大學 數學與信息科學學院,廣東 廣州 510006）

復平面閉曲線的繞數及其應用

林慶澤1，2， 尚亞東2

（1.廣東工業大學 應用數學學院，廣東 廣州 510520；2.廣州大學 數學與信息科學學院,廣東 廣州 510006）

給出實參數閉區間上的復平面連續閉曲線的繞數的一種定義并證明它的一些重要的性質，由此得到關于復數多項式的代數基本定理的一種推廣形式。利用復平面上連續閉曲線的繞數性質給出Brouwer不動點定理的2維形式的一個證明。

閉曲線；繞數；代數基本定理；不動點定理

0 引言

在復變函數論中，Cauchy積分定理的推導需要利用閉曲線的繞數性質，而且Cauchy積分定理的表達公式中也包含著閉曲線的繞數：

定理1(Cauchy積分定理)[1-2]如果函數f(z)是開盤上的解析函數且是△上的連續可微的閉曲線，那么對于不在上的任一點z0，都有

這里我們給出(1)式所定義的等式的合理性的解釋：若將閉曲線用復數指數形式來表示（其中，則因此

本文從研究點z0=(0,0)時的情形出發，證明了連續閉曲線繞數的一些重要的性質，并由此得到代數基本定理的一種以極限的形式來表示的推廣形式，最后利用連續閉曲線的繞數性質給出Brouwer不動點定理的2維情形的一個簡短的證明，由此顯示出閉曲線的繞數性質在處理分析問題中的重要性。

1 繞數的若干性質

我們證明這樣定義的繞數是合理的。

證明 這是顯然的。證畢。

證明 存在著α＞0，使得?q∈（-∞，0]，?t∈[a，b]，有取三角多項式P(t)使得?t∈[a，b]，，故從命題2知，n(P)=0，亦即n()=0。證畢。

證明 1）由命題4，這是顯然的。

2 繞數的若干應用

2.1 代數基本定理的推廣

命題8 令f(z)是定義在復平面上的連續復值函數，如果存在一個正整數n和一個非零復數z0，使得，那么方程f(z)=0在復數域上至少有一個根。

由命題8，我們直接得到下面的代數基本定理：

定理2（代數基本定理）[2，7]如果且則多項式方程在復數域上至少有一個根。

2.2 Brouwer不動點定理的證明

2）取定任一r0∈[0，1]，因為的連續性，存在著δ＞0，使得當時，因此由命題7知，從而是關于r∈[0，1]的連續函數。

定理3（Brouwer不動點定理）[8]記是到的連續函數，則存在一點，使得

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The Winding Number of Closed Curve in the Complex Plane and its Applications

LIN Qinɡze1，2，SHANG Yɑdonɡ2

（1.School of Applied Mathematics，Guangdong University of Technology，Guangzhou Guangdong 510520，China；2.School of Mathematics and Information Science，Guangzhou University，Guangzhou Guangdong 510006，China）

A definition of winding number of the continuous closed curve in the complex plane，with real parameter interval，is defined，and its several important properties are proven.Base on these，a generalization of the fundamental theorem of algebra concerned with the complex polynomials is deduced.Finally，by virtue of the properties of the winding number of the continuous closed curve in the complex plane，the two-dimensional form of the Brower's fixed point theorem is proven.

Closed Curve；Winding Number；Fundamental Theorem of Algebra；Fixed Point Theorem

O174.5

A

1009-8666（2017）04-0001-05

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.04.001

［責任編輯、校對：李書華］

2016-11-06

林慶澤（1994—），男，廣東揭陽人。廣東工業大學碩士研究生，研究方向：數學與數據統計分析；尚亞東（1963—），男，陜西周至人。廣州大學教授，博士生導師，研究方向：非線性偏微分方程理論與應用。