多維建構 彰顯數學思想
—— 以《三位數乘兩位數》練習課為例

● 福建省福清市瑞亭小學 李 衡

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把“雙基”變為“四基”，即：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。基本思想在教學中有：數形結合思想、數學建模思想、符號化思想、轉化思想等等。通過課堂實踐活動的多維建構，彰顯數學思想，能夠讓學生主動參與對知識的深入思考和加工中，從而內化成可以受用終生的思想。

《三位數乘兩位數》是一節計算教學課，計算教學如何滲透數學思想，讓學生形成運算能力，而不僅僅止步于計算技巧的熟練，是我們需要思考的問題。為了實現目標，本節課我沒有放棄計算的基本技能，但更多的是進行數理相聯、結構關聯、直觀演示的實踐活動，其中滲透轉化、類比、數形結合的思想。

一、數理相聯，滲透轉化思想

計算的學習源自生活，學生通過解決生活中的具體問題，把抽象的知識轉化為具體的策略，在計算的過程中形成解決問題的策略意識。創設生活情境，不單單只是增強學生學習的興趣。學習是一個認知的過程，也是一個情意過程，需要學生有學習的動力和欲望，通過生活情境的呈現，學生有了解決問題的需要，才能事半功倍地進入數學的思考過程。

四年級的學生已經學會了口算、估算、筆算三種計算方法，這三種計算方法的適用性是什么？如何在生活中自主選擇運用合適的方法進行計算，這考查學生的計算能力和數學素養。因此，本節課我創設了購物猜價格的問題情境，出示三種書的單價分別是54元、109元、121元，對應的數量分別是24本、24本、43本，給出了四個總價：1296元、2616元、4783元、5203元，分別可能是哪本書的總價？這道題可以用到估算、筆算兩種方法。而估算的運用不是簡單地讓學生把因數用四舍五入法看成整十整百的數來計算，而是要選擇合適的方法進行判斷。此時的方法就比較多樣了。第一，看積的個位進行判斷，兩個因數個位相乘得到的結果的個位與積的個位是否一樣，通過這種方法可以判斷1296與2616是54×24與109×24的積，121×43的積可能是4783與5203中的一個。第二，看因數的大小判斷積的大小，54×24的兩個因數小于109×24，所以積也一定比它小，由此，學生可以得出1296是54×24的積，2616是109×24的積。第三，估成整十整百的數，121估成120，43估成40，120×40=4800，因為因數都估小了，所以積一定大于4800，那么4783就不是121×43的積。

知識只有應用了才能轉化成能力，而學生只有在生活情境中通過解決問題，才能對知識進行運用，從而實現素養的轉化。

二、結構關聯，滲透類比思想

類比思想是根據知識的相似性，由此及彼產生的一種數學思想。數學的知識結構化在所有學科中尤為突出，知識之間聯系緊密，方法也相通，所以才有了通一題會百題的說法。因此，數學的教學更關注的是知識的結構化，把所有相關的知識點聯結起來形成一個體系，學生通過方法遷移把新知轉化成舊知，在思考辨析的過程中，進行方法的拓展，完善知識結構，實現自我發展。

本節課教學三位數乘兩位數，前期是兩位數乘兩位數，后續還可以拓展到多位數乘三位數，多位數乘四位數，這節課是這些知識承上啟下的關鍵點，它們的算理和算法相同，知識結構是一樣的。因此，教學這節課，我重在方法的比較遷移，通過比較遷移發現一般方法，從而總結出多位數乘法的計算方法。

第一輪比較的是兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數，如54×24和109×24都是把24分成20和4，先算4個54和4個109，再算20個54和20個109。由此發現，無論第一個因數是幾位數，都是把第二個因數分解成幾十和幾，先算幾個幾，再算幾十個幾，所以第一個因數是兩位數還是三位數都是一樣的。

第二輪遷移，把三位數乘兩位數的方法遷移到三位數乘三位數，第二個因數是三位數的時候，如168×124，怎么分呢？通過遷移得出124分成100+20+4，再與三位數乘兩位數進行方法比較，發現方法是遞進式的，本質是一樣，都是分第二個因數，因數是兩位數時，分成幾個幾和幾十個幾，拓展到因數是三位數時增加幾百個幾，順著這個思路，學生很容易對方法進行拓展，第二個因數是四位數時，就增加幾千個幾，以此類推下去，幾萬個幾……多位數乘法的知識結構形成了，學生對乘法計算的本質特征也就有了很好地理解。

還有一種關聯是學習方法結構的關聯，再以猜書本的價格為例，最后一本書，我設計了162×24，當學生一致認為只能通過筆算得出結果時，就引導學生觀察，這個算式與前面的54×24、109×24、121×43這三個算式中的哪個算式有關聯。通過觀察能發現：54×24與109×24都與162×24有關聯，都有一個因數24，其中54×24中的54的3倍是162，因此，本題不用列豎式計算162×24，只需要根據這種方法推理得出，用54×24的積1296×3就能算出162×24的積。

尋找關聯形成結構，能夠讓數學的學習不再是碎片化，運用類比的思想能做到學一個知識，會一片知識，學生主動學習的積極性和解決問題的能力將得到很大的提升。

三、情理相融，滲透集合思想

集合就是把確定的、彼此可以區分的、具體的以及想象的對象看作是一個整體。集合思想是很重要的思想之一，現代數學的很多概念都是在它的基礎上建立的，因此，小學數學中滲透集合思想顯得尤為重要，它可以幫助學生深刻地理解知識，培養學生對事物進行辨析和歸類的能力，有助于提高學生思維的條理性。

表示三位數乘兩位數的積的范圍時，我設計了在數軸上表示積的范圍。首先出示一個開放式的算式： □□□× □□=？讓學生猜測積是多少？學生得出的結果各不相同，有的開始猜測積的數量，認為積有無數個。教師接著追問：一直數都數不完嗎？學生又產生質疑：似乎也不會數不完。數到哪里才到頭呢？學生想到999×99，就是用最大三位數乘最大兩位數得到的是最大的積。有了終點自然就想到了起點，那就是100×10，最小三位數乘最小兩位數是最小的積，這樣積的取值范圍就找到了：大于1000小于98901，怎樣才能直觀地看到這些數呢？此時出示數軸，學生用大括號把1000和98901連接起來，三位數乘兩位數的積就在這兩個數之間，可能是四位數，也可能是五位數。

四、枚舉驗證，滲透數形結合思想

數形結合是將抽象的數學語言和直觀的圖形結合，既能借助數的精確性來闡述形的某些屬性，又能借助形的直觀性來闡述數量之間的關系。小學階段，學生的形象思維占據主導，是形象思維向抽象思維過渡的重要階段，數形結合符合小學生的思維方式，能有效地將數學思考過程直觀化，從而幫助學生形成數學思維。

本節課在課后練習中有一道題是132×43和131×44，怎樣快速地判斷這兩個積哪個比較大？這道題，學生通過觀察發現，每道算式兩個因數的和都是175，看第一個因數左邊多了一個43，右邊少了一個44，看第二個因數,左邊少了一個132，右邊多了一個131，這樣對比下來，第二個算式的積比較大。但是這樣的比較學生不容易理解，如果運用數形結合就會簡單很多。可以讓學生選擇小點的數字，比較容易觀察，學生選擇了因數的和是10的算式，例如1×9、2×8、3×7 …… 9×1。用正方形來代替數據，1×9就是1個9相加，2×8是2個8相加，以此類推展示圖形，學生逐次進行觀察，例如1×9與2×8，少了一個9，但是卻多了1個8……到了5×5達到最多，再往下又開始逐次減少。通過圖形展示，很容易得出“兩個因數和相同，因數之間的差越小，積越大”。

直觀的圖形把抽象的數據形象化，可以幫助學生更好地理解算式中的道理，直達數學的本質，提升了學生的學習能力。

數學的學習就是一個個實踐活動過程的組成，這個活動需要學生主動參與，通過觀察、操作、思辨、表達，把抽象的知識內化成素養，進而讓數學的學科價值得以彰顯。