基于數學建模思想的高等代數課程教學研究

李 麗, 楊方白, 門桐宇, 唐佳玥

(1. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034; 2. 遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連,116029)

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基于數學建模思想的高等代數課程教學研究

李 麗1, 楊方白2, 門桐宇1, 唐佳玥1

(1. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034; 2. 遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連,116029)

探討如何在高等代數中融入數學建模思想,通過增強其應用性,幫助學生更深刻的理解高等代數內容,使其認識到學習高等代數的重要性和必要性。但是,由于高等代數教學中所涉及的例子很少能與實際生活相聯系,學生感到學習內容抽象,感受不到數學的應用價值,缺少學習的興趣和動力。通過在教學中融入數學建模思想,對試驗數據進行分析建模求解,將知識由抽象轉化為直觀形象的生活實例,由理論轉化為應用,來增強學生學習高等代數的興趣,提高教學質量及學生的數學素質,從而培養學生的創新思維意識及數學應用意識。

數學建模; 高等代數; 教學; 數學應用

當今社會,數學知識被廣泛應用到各個領域并起著至關重要的作用。《高等代數》作為大學數學學習中的一門傳統學科,其內容結構清晰,是大學數學的主干基礎課程。但是,由于它的抽象性較強,并且學習內容較多,導致很難將所講內容與實際相結合,所以教師的上課內容局限在概念教學。這種教學方法往往忽略了高代的實用性,而且學生體會不到學習高代的實際意義所在。因此,在《高等代數》課程教學中突出其應用性[1-3]已經成為該課程教學改革的熱點。

隨著數學建模競賽的深入開展,為新的教學模式打開了新思路[4]。數學建模思想能夠使數學知識形象化,系統化和實用化,是將數學與實際聯系起來的紐帶。因此,將數學建模思想融入高等代數課程教學中成為了高等代數課程改革的核心與重點。實踐教學中表明,將數學建模思想融入到高等代數中有利于提高學生學習效果,使其體會到將數學應用到實際問題中去的魅力,激發學生的興趣,提高學生學習的積極性,還能促使教師提高自身的專業素養,從而培養全面發展的創新型高素質人才。這樣的教學方法既能彌補教材中理論聯系實際不足的現象,又能幫助學生更深刻地理解課程的內容,培養學生創新能力。

1 在高等代數教學中融入數學建模思想的教學探索

1.1 在高等代數教材中充實應用素材

目前,大多數高校選擇的高等代數教材在內容的取舍和體系結構上都比較得當,且具有理論性強,方法多樣,重技巧性的特點。但是由于含有較多知識點,教師往往會采用理論教學模式,這導致部分學生對這門課程的學習熱情不高。所以,高等代數教材的改革中應該具有以下特點(探討了在不同模塊中從背景知識、應用案例、信息技術、知識覆蓋面、知識體系等角度入手將數學建模思想滲透于高等數學教材中)[5]:1)應充實一些趣味性的實例,例如:人口遷移模型,投入產出模型等。2)可以使用目前已經很成熟的計算機軟件,如MATLAB,Lingo等,結合應用型實例,進行圖示,數值計算,仿真等,以提高課堂教學的效果[4]。

1.2 在高等代數課程教學中教學方法的改革

1.2.1 在概念教學中引入數學建模的思想

在高等代數的學習中,概念是基礎,只有深刻理解概念,才能應用到習題中去。為了讓學生更好的理解概念,教師可以向學生傳授概念的形成過程及應用,盡可能在實際問題中找到概念的原型。通過在實際問題中建立數學模型,來引出數學概念,這樣可以加深學生對所學知識的理解與掌握,引發學生學習的欲望,使其主動去求知、探索與實踐。

例1 行列式概念的引入[6]

貨物交換的經濟模型:諾貝爾經濟學獎獲得者列昂杰夫(Leontief)考慮的一個經濟學模型。在一個原始部落,根據分工,人們分別從事3種勞動:農田耕作(記為F)、農具與工具的制作(記為M),以及織物的編織(記為C),人們之間的貿易是實物交易。圖1給出這3人之間的交易系統,圖中所示表明,農夫們將每年收獲的一半留給自己,并分別拿出1/4給工匠們和織布者們;而工匠們卻平均分配他們制作的用具給每個組;織布者們則留下1/4的衣物給自己,并拿出1/4 給工匠們、1/2給農夫們。此交易系統也可以用表給出,如表1所示。

圖1 三組人之間的交易系統

FMCF121312M141314C141314

隨著社會的發展,實物交易形式變得十分不方便,于是部落決定用貨幣進行交易。假設沒有資本和負債,那么如何給每類產品定價,使其公正地體現舊有的實物交易系統呢?

令x1為農作物的價值,x2為農具及工具的價值,x3為織物的價值,那么由表1,農夫們生產的價值應等于他們交換到的產品(包括留給自己的)價值,

(1)

即有

整理得,如下方程組:

(4)

因此,該問題可歸結為一個三元一次線性方程組的求解問題。以此問題引出行列式,使學生了解行列式與線性方程組的密切聯系。從簡單的經濟問題入手,讓學生了解知識的應用背景,表明學習行列式是為生產實踐服務的,從而提高學生學習的積極性。

1.2.2 在例題講解中引入數學建模的思想

高等代數課程抽象,理論性強,且教材中缺少實用性例子,導致大多學生認為高等代數與實際無聯系,從而喪失學習的興趣[7]。為了彌補現行教材中的不足,教師可以在例題講解中可以適當增加一些應用性的實例,引導學生去分析,進行模型求解。這樣既培養了學生數學建模的意識,又讓學生體會到將高等代數知識應用到實際中去的魅力所在,大大增加學生學習高代的興趣。

例如,教師在講解矩陣乘法與逆矩陣的應用之后,可以補充下面例子:

例2[8]在密碼學中將明文消息通過一些處理使其隱藏起來成為密文,又可以通過矩陣將密碼破譯。密碼在商業與軍事中是一種保密通信技術,密碼在保密通信技術中發揮了重要作用。

假設要發出的信息為“THE MESSAGE IS WRONG”。規定每個字母對應數字為26個字母,例如A對應1、C對應3。另外,空余的位置可以用0來表示。于是就有數集

{23,8,4,16,4,19,19,1,7,9,19,23,17,15,14,7}

表示“THE MESSAGE IS WRONG”,將其寫成4行4列的行列式形式為:

(5)

密碼發送者和接收者的共同基本矩陣為

(6)

通過變成矩陣被加密的信息再傳輸過程中以AM的形式輸出,接收者收到的矩陣:

(7)

收到消息后計算A-1C來破譯信息,還原出C即可得到原始信息。

這道例題是矩陣乘法與逆矩陣的應用,它不僅使學生熟悉所學知識,也會讓學生了解信息科學發展,從而引發學生的學習興趣。

同樣,教師在講解線性方程組時,也可以增加如下例題:

例3 投入產出模型。設甲,乙,丙3個部門組成一個經濟系統,各部門生產滿足系統內部和外部的需求,同時也消耗系統內部各部門的產品,如表2所示。

表2中,甲部門那一行的0.4表示該部門的1元錢產品需消耗甲部門的產品0.4元,其余類似。

1) 求y1,y2,y3與x1,x2,x3的關系

2) 當y1,y2,y3分別為40億元,24億元,16億元時,求x1,x2,x3及z1,z2,z3。

解 1) 根據題意可得

(8)

2) 當y1=40,y2=24,y3=16時,由式(8),可解得x1=232,x2=212,x3=178。又因為

(9)

代入x1,x2,x3,可解得z1= 23.2,z2=21.2,z3= 35.6。

表2 直接消耗系數表

于是,通過簡單的實例讓學生感受到學好高等代數的必要性與重要性。

1.2.3 在課后作業及考核中引入數學建模思想

目前高等院校《高等代數》課程教學考試與課后習題多以理論知識為主,很少涉及應用與實踐性的題目。這就導致了學生高分低能現象的出現,很難將所學知識應用到實際生活中。為改變學生學習的現狀,應該在考核方式,評分標準與課后作業的類型題上做一定的改革。在考試中可以適當的增加一些開放性的應用題,要求學生以數學建模的方式來解答。在課后習題中可以給學生留一些需要實踐驗證的數學建模問題。讓學生親自觀察并將結果記錄下來,并判斷計算結果是否正確,讓學生體會到“做中學”的魅力。通過這樣模式不但能夠加深學生對所學內容的掌握程度,又能培養學生開拓創新、互幫互助的合作精神。這樣的改革使高等代數這門課程重在積累、重在平時、重在知識的應用。

2 注重對學生學習方法的指導

基于數學建模思想的高等代數課程,能讓學生更好地將高等代數應用到科學技術和生產活動中,體會到數學的重要性,達到事半功倍的學習效果。但是由于高等代數不是專門的數學建模課程,所以在教學中,教師可以引入代表性強的例題,不需按照完整的建模程序教學,而是傳輸數學建模的思想,以此達到讓學生深入理解高等代數內容的目的。

3 結 語

將數學建模思想融入到高等代數中去,對提高學生知識的直觀理解、和數學知識的實際應用的認識有較大的影響[8],能夠給予學生更多獨立思考的時間與機會,對于提升創新思維和實踐能力具有非常重要的意義。這種新的教學方法目前還受到固有的教學方式影響故想要進一步實施還將面臨巨大的挑戰,想要深入的實現課程改革與適應還需要廣大教師與學者的不斷努力。

[1]王菡. 數學建模思想融入高數課堂的實踐案例研究及分析[J]. 數學學習與研究, 2015(21):27-28.

[2]楊劉. 在《高等代數》課程教學中融入數學建模思想研究[J]. 探索與實踐, 2013(13):236-237.

[3]JOSEPH J R. Advanced Modern Algebra[M]. London:Prentice Hallm, 2002.

[4]李大潛. 將數學建模思想融入數學類主干課程[P]. 中國大學數學, 2006(1):9-11.

[5]龔雅玲. 數學建模思想在高等數學教材中的滲透[J]. 北京教育學院學報(自然科學版), 2015(3):4-8.

[6]韋程東,周桂升,薛婷婷. 在高等代數教學中融入數學建模思想的探索與實踐[J]. 高教論壇, 2008,4:28-30.

[7]郭秀英. 《高等代數》在數學建模中的應用舉例[P]. 科技信息, 2013(24):2-2.

[8]王艷慧,宋毅. 數學建模思想滲入代數課程教學的試驗研究----短周期課堂教學試驗與分析[J]. 數學建模及其應用, 2015,4(1):55-59.

Research of advanced algebra teaching based on mathematical modeling thought

LI Li1, YANG Fangbai2, MEN Tongyu1, TANG Jiayue1

(1. College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. College of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 110034, China)

This paper discusses how to integrate mathematical modeling thoughts into advanced algebra teaching in order to help the students understand the content of advanced algebra more deeply. But the examples involving in the teaching of advanced algebra can rarely link to the real life,some student feel the learning content abstract and disconnect with the real. This can not reflect the application of mathematics. By integrating the mathematical modeling thoughts into teaching,we analyze experimental data and establish models. This can translate the abstract knowledge into intuitive image. In the way,we can cultivate the students' innovative thinking and mathematics application consciousness. At the same way,this can improve the quality of teaching and the mathematics quality of the students.

mathematical modeling; advanced algebra; teaching, application of mathematics

1673-5862(2017)02-0253-04

2016-12-25。

遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(2015020029)。

李 麗(1979-),女,遼寧錦州人,沈陽師范大學講師,博士。

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.02.024