反思《空間直線與直線之間的位置關系》的概念教學

李建明

概念課，歷來讓教師感到頭疼。特別是在教材中的概念形成比較突兀時，更令老師感到無所適從。很多時候，只能是照本宣讀。現代的教學，從原來重雙基發展到了基礎知識、基本技能與方法、情感態度價值觀的高度。從四基的角度來看，數學教學不光要重視基礎知識、基本技能與方法、情感態度價值觀，還應當重視知識和經驗的積累，讓學生經歷概念和知識的生成過程。而數學學習的過程恰恰就是一個直觀感知和理性推理相結合的過程。

本文就《空間直線與直線之間的位置關系》一課的磨課、授課和課后反思小議概念教學中的一些問題。

一、課題：空間直線與直線之間的位置關系

參考很多教學設計發現其設計流程基本是大同小異：

1.課題引入：從立交橋、教室內部的線條（根據教材上所給）引出空間直線間的幾種關系。

2.概念一：由引入得到不平行、不相交的兩直線，提問：“給個怎樣的名稱好？”讓學生自主給出異面的名稱和定義。教師板書，對空間直線間的位置關系進行兩類分類，并完成教材上的思考。

3.從初中學習的線線間平行的可傳遞性出發推廣到空間，即給出公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4.利用公理4完成例2的教學內容。

5.給出等角定理、異面直線所成角的定義及相關的概念。

6.小結。

二、質疑

質疑一：上述流程是一個中規中矩的過程，整個教學設計看似完成了教學內容，但就教學的四維目標和重難點的突破來看，實在很難達到預期的效果。

質疑二：關于教材思考一的處理，這是一個關于平面翻折的問題，而平面翻折問題是培養學生空間想象能力的一個重要載體。但是經過分析后決定把這個例題簡化處理，因為學生的思維水平和空間想象能力在這個時候還處于直觀感知的階段，讓他們做理性的分析顯然是超前的。

質疑三：異面直線的定義中“不同在任何一個平面”怎么講。對剛接觸立體幾何的學生來說，由于缺少足夠的理論體系的支持，這個問題對他們而言其實也是一個說不清、道不明的概念。所以處理成了“既不平行，也不相交”的一種空間直觀。

質疑四：等角定理的順序，教材中是先給出等角定理后給出異面直線所成角的概念。討論后認為，這個定理是為了說明角的唯一性而給出的，它起到的其實相當于“引理”的作用，但是，高等數學中的一種嚴密的邏輯結構，對高中生來說卻不是那么好接受的，因此將定理后移，使之成為一個唯一性的必要定理。

三、定課

針對這些情況，在對教材內容做了詳細研究后做出了一系列的改動。設計如下：

1.課題引入：平面中的直線與直線之間的位置關系有哪幾種？其關系其實在平面的一個非常基本的圖形——正方形中可以清楚直觀地表示。（平行和相交）通過類比空間，我們用正方體來研究，看看空間的直線到底有哪些關系。

2.提出問題：平面中的兩直線有幾種位置關系？（例如正方形中）那么空間中的兩條直線呢？（將正方形空間化成立方體）對比正方形中的關系：平行和相交。對剩下的直線提出問題。還有一類既不平行也不相交的直線，給出異面直線名稱，師生共同完成異面直線的定義。利用上面給出的問題，通過直觀感知和操作確認，完成定義中的“不同在任何一平面”的難點突破。

空間直線的分類：（1）從共面異面角度來區分，分異面直線和共面直線。其中共面直線又包含平行直線、相交直線。（2）從交點的個數角度來分：沒有交點和有且只有一個交點的情況。其中沒有交點包含平行直線、異面直線；有且只有一個交點的情況是相交直線。

3.公理4：

回顧例1中找平行直線的方法，得出平行公理。引導學生形成理性地發現問題及解決問題的能力。（板書平行公理，平行公理的數學表示，平行的可傳遞性）利用平行公理完成課本例2的證明。接著追問：當空間四邊形對角線相等的時候，四邊形是一個什么四邊形？再進一步創設問題：怎樣再增加條件，使四邊形成為一個正方形？（學生直觀給出，引出異面直線所成角的概念）

4.異面直線所成角。

由例2的追問引發了學生的思考，并提出了異面直線所成角的概念。在平面中角是用來度量直線傾斜程度的量，那么空間兩直線是不是也有這樣的量呢？（學生直觀感知空間角的存在）給出空間角的概念。從角的唯一性出發，給出等角定理。（直觀感知，不證明。）由點0的任意性，最簡單的找角的辦法就是在一條直線上找一個點，定為0，將另一條直線平移過來，從而完成異面直線所成角的作法。

5.知能提升。

在我們的學生了解并掌握了如何找異面直線所成角這個方法之后，完成例3這個問題。學生不管是知識方面還是能力方面都得到了真真的提升。

6.小結升華。

學生小結本節課的主要內容及相應要注意的事項。

7.作業。

四、反思

以建構主義理論為指導，我們的課堂應當從學生已有知識出發進行一系列的設計，我們的問題不能高于也不能低于學生的既有知識，要設計一個最近發展區，這也是一種有效的預設，本文從學生已有的平面幾何中的線線關系進行設問，并通過平面幾何問題空間化，引出空間中的直線與直線之間的位置關系的問題，這既契合學生的思維發展規律，也符合課堂教學的要求，是一種華麗的生成，教材和課標的問題設置都是以長方體為載體，也為課例的設計提供了一個很好的思路。

教學有法，但教無定法，只有結合實際，從學生的認知規律和思維發展出發，細細地研讀教材和課標，仔細地磨課，很多課雖然看上去山窮水盡，但是轉眼間又會柳暗花明。