基于陀螺儀進動效應的自行車穩定性分析

高雅楠++胡志勇

摘 要：該文分析了自行車在行駛過程中受到沿自行車輪軸方向作用力作用發生滑移并側傾時，利用陀螺儀的進動穩定效應使自行車保持平衡而不傾倒。將平衡環與陀螺儀裝載在自行車底部，并利用SolidWorks進行建模分析。運用拉格朗日能量守恒方法得到相應的運動方程（滑動時考慮摩擦力的作用）。同時利用MATLAB的Simulink功能驗證所得方程的正確性。

關鍵詞：自行車 陀螺儀 穩定性分析

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）03（b）-0106-05

Bicycle Stabilzaion Analysis Using Gyroscope Procession Effect

Gao Yanan Hu Zhiyong

（Mechanical Engineering Department， Inner Mongolia University of Technology，Hohhot Inner Mongolia，010051，China）

Abstract：In this project a bicycle with a gimbal and a gyroscope are mounted on its bottom， model is made using SolidWorks. Equations of motion are derived based on the Lagranges energy conservation method with gyroscope to stabilize when side impact acts on it. Friction force also taken into consideration when sliding to lateral side. Equations were verified using MATLAB Simulink function. Validated the equation based on the results.

Key Words：Bicycle；Gyroscope；Stabilization analysis

一個旋轉物體的旋轉軸所指的方向在不受外力影響時不會改變，陀螺儀就是根據此理論而制造。通過陀螺儀的進動效應保持自行車的平衡，如果陀螺儀正在旋轉，而施力轉動它的自轉軸，則陀螺儀反而會圍繞與力軸成直角的軸轉動。利用SolidWorks建立在底部裝有平衡環與陀螺儀的自行車模型（如圖1（a）所示）。當有力作用于自行車輪軸方向試圖使自行車發生滑移與側傾時，此時有力矩作用于陀螺儀。由于進動效應，陀螺儀試圖旋轉平衡環來補償作用于自行車上的力。這個過程需要一定的反應時間，時長受陀螺儀與平衡環的參數影響。自行車在力F作用下發生滑移和側傾如圖1（b）所示[1]。

自行車相對于X-Z平面的旋轉角為θ，平衡環繞Z軸的旋轉角為α，陀螺儀繞Y軸的角速度為?，圖2為歐拉角示意圖。絕對角速度可通過對歐拉角進行計算獲得。各變量的含義、符號、單位及公式/數值如表1所示。

1 運動方程

自行車、平衡環及陀螺儀的非線性動力方程可通過拉格朗日方程（1）計算而得[2]。

（1）

基于之前的設定條件可分別獲得基于θ，α及x的拉格朗日方程（2）、（3）、（4）。

（2）

（3）

（4）

L為拉格朗日函數，L=T-U，T為自行車、平衡環及陀螺儀的動能之和，U為自行車、平衡環及陀螺儀的勢能之和。

自行車、平衡環及陀螺儀的動能為質心的線性動能與關于質心旋轉的動能之和，式（5）、（6）、（7）分別表示自行車、平衡環及陀螺儀的動能。根據表1代入相應公式。

（5）

（6）

（7）

式（8）、（9）、（10）分別表示系統總動能、總勢能及拉格朗日函數。

（8）

（9）

（10）

將式（10）代入式（2）、（3）、（4）分別得到自行車、平衡環及陀螺儀的微分方程（11）、（12）、（13）。

（11）

（12）

（13）

2 利用Simulink仿真

利用MATLAB的Simulink功能進行仿真，將式（11）、（12）、（13）輸入函數框，進行2次積分得到θ、α及x數值。仿真框圖如圖3所示[3]。

3 結果分析

分別表示θ和α在?=1 050 rad，F=150 N，h=0.4 m條件下0.5 s內的反應曲線，圖5為x在?=1 050 rad，F=150 N，h=0.4 m條件下1 s內的反應曲線。圖4說明當有恒定力作用于自行車時，θ開始增加，直至此力消失θ達到最大值。當作用力F=150 N時，θ的最大值小于0.04，說明平衡環和陀螺儀的進動效應在此過程中使自行車保持平衡。圖5說明當有恒定力作用于自行車時，自行車會滑行一定距離，由于摩擦力的存在，滑行速度會減慢直至為零，滑行距離與摩擦系數成反比。

圖6（a）和（b）分別表示θ和α在?=1 050 rad，F=150 N， h=0.4 m條件下20 000 s內的反應曲線。圖6說明即使在傾角很小的情況下，平衡環和陀螺儀也需要較長時間來使自行車恢復原有平衡狀態。在傾角減小的情況下，平衡環繞Z軸的旋轉角α會相應增加，但頻率有所降低。

通過分析以上MATLAB驗證曲線，說明該文推導的自行車相對于X-Z平面的旋轉角θ、平衡環繞Z軸的旋轉角α及滑行距離x的微分方程是正確的，具有應用價值。

4 結語

該文推導了自行車在行駛過程中，當受到沿自行車輪軸方向作用力作用發生滑移并側傾時，自行車相對于X-Z平面的旋轉角θ、平衡環繞Z軸的旋轉角α及滑行距離x的運動方程，并用MATLAB軟件的Simulink模塊進行仿真驗證運動方程的正確性。當自行車受到沖擊后，具有快速、平穩的恢復穩定狀態的能力十分必要。該文的推導及驗證過程對后續自行車平衡穩定系統設計具有實際應用價值。

參考文獻

[1] H.Yetkin.Stabilization of Autonomous Bicycle[D].The Ohio State University，2013.

[2] D.T.Greenwood.Principles of dynamics[Z].

[3] M.E.Ropp，S. Gonzalez.Development of a MATLAB/simulink model of a single-phase grid-connected photovoltaic system[J].IEEE Transactions on Energy Conversion，2009，24（1）：195-202.