向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域中的應(yīng)用

馬光燦

摘 要：向量式有限元已逐漸應(yīng)用于各類工程結(jié)構(gòu)的分析，為工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析提供了新方法。該文首先介紹了向量式有限元的基本原理，緊接著總結(jié)了向量式有限元的在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀，并將向量式有限元和傳統(tǒng)有限元進行對比，緊接著介紹了目前向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的主要應(yīng)用，最后提出了向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：向量式有限元 工程領(lǐng)域 海洋工程

中圖分類號：TU311.4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）03（b）-0074-02

目前對海洋工程結(jié)構(gòu)物的運動以及海洋結(jié)構(gòu)物之間的相互作用過程中，應(yīng)力、應(yīng)變的求解方法是主要通過傳統(tǒng)有限元方法進行求解，但傳統(tǒng)有限元在求解結(jié)構(gòu)的大變形、大變位、彈塑性、倒塌、碰撞等非連續(xù)或非線性等力學(xué)行為時由于不收斂等原因容易出現(xiàn)無解的情形。

向量式有限元是由普渡大學(xué)丁承先教授等提出，是基于向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)值計算提出的一種新型的數(shù)值計算方法，是求解結(jié)構(gòu)的大變形、大變位、彈塑性、倒塌、碰撞等非連續(xù)或非線性等力學(xué)行為的新方法。與傳統(tǒng)的有限元相比，有很大區(qū)別，總體來說向量式有限元是以結(jié)構(gòu)的物理模型為基礎(chǔ)，引用廣義向量力學(xué)作為運動和變形的準(zhǔn)則，選擇直接以數(shù)值計算方法中常用的點值取代傳統(tǒng)分析力學(xué)中的連續(xù)函數(shù)微分控制方程作為結(jié)構(gòu)行為描述的方式。

1 向量式有限元的基本概念

向量式有限元有3個創(chuàng)新性概念，即點值描述、途徑單元、虛擬的逆向運動。下面簡單地對這些概念及在求解過程中的用處進行闡述。

1.1 點值描述

經(jīng)典力學(xué)的一個基本假設(shè)是構(gòu)件由無限多個點構(gòu)成，向量式有限元也假設(shè)構(gòu)件由無限多個點組成，但從這無限多個點中取出有限個點，用取出的有限個點去描述構(gòu)件的任意時刻的位置狀態(tài)。將點與點之間的構(gòu)件質(zhì)量分配到相鄰的兩個點上，因此，整個桿件的運動狀態(tài)可以用有限多個運動的質(zhì)點來描述，而質(zhì)點的運動可以用牛頓運動公式來計算，荷載、內(nèi)力和運動的約束用力與點位移來描述，點與其他點之間的位置用一組標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)插函數(shù)來計算。

1.2 途徑單元

將構(gòu)件上任一個空間點的時間軌跡也用一個時間段來描述，而空間點從一個空間位置運動到另一個空間位置需要一定的時間段，空間點在該時間段內(nèi)的具體位移可以通過牛頓第二定律來描述，而為了數(shù)值計算的方便，我們將空間點從一個空間位置運動到另一個空間位置需要的時間進行標(biāo)準(zhǔn)化，即認為這些時間段是相等的，這個時間段就稱為途徑單元。用一組相互連接的標(biāo)準(zhǔn)途徑單元來描述時間軌跡可以簡化內(nèi)力的計算和處理不連續(xù)行為，在選擇途徑單元的時間點時，可以選擇足夠小的途徑單元，在這個時間單元內(nèi)，構(gòu)件的幾何變形足夠小。雖然結(jié)構(gòu)的總的變形可能很大，但是在這個小的時間段內(nèi)構(gòu)件的幾何變形很小，可以用大變位和小變形理論來處理，即構(gòu)件的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。

1.3 逆向運動

逆向運動的引入是為了計算在一個途徑單元內(nèi)構(gòu)件的純變形，進而計算在該途徑單元內(nèi)構(gòu)件的內(nèi)力而引入的物理量。向量式有限元的初始條件之一是已知構(gòu)件的有限個點的初始的位置狀態(tài)，但不可能直接獲取每個時間段結(jié)束時的構(gòu)件的坐標(biāo)位置，因此，通過構(gòu)件的變形大小而獲取每個時間段結(jié)束時構(gòu)件的有限多個點的位置坐標(biāo)以及作用在質(zhì)點上的內(nèi)力大小。

首先，假設(shè)在時間點及空間點的選擇上做了適當(dāng)選擇，使得點之間的變形接近于一個均勻變形的狀態(tài)，而且在途徑單元內(nèi)構(gòu)件的純變形量很小。因此，內(nèi)力計算是一個大變位、小變形和近似均勻變形的問題。此外，用途徑單元的初始時間的構(gòu)件形態(tài)作為內(nèi)力計算的參考狀態(tài)。

其次，假設(shè)點之間的桿件單元，在途徑單元中的任意時間t時的空間位置，做一個虛擬的逆向剛體運動，包括平移和轉(zhuǎn)動，得到一個虛擬的單元形態(tài)，由于途徑單元內(nèi)的運動及變形為小變位、小變形，因此，在這個途徑單元內(nèi)內(nèi)力與位移的關(guān)系可以用材料力學(xué)基本公式進行推導(dǎo)。

2 向量式有限元與傳統(tǒng)有限元的區(qū)別

首先，向量式有限元采用點值描述，將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量集中于質(zhì)點，而點之間的單元沒有質(zhì)量，選取有限數(shù)量的一組點作為獨立變量，然后通過一組標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)插函數(shù)來確定這兩點之間其他節(jié)點位置，構(gòu)件是物理連續(xù)體，獨立位置變量是可選的有限數(shù)。

其次，向量式有限元引入途徑單元的概念，將構(gòu)件的受力過程看作由一個個途徑單元構(gòu)成，各個途徑單元之間是連續(xù)的，但認為各個途徑單元內(nèi)的運動狀態(tài)是相互獨立的，且荷載及構(gòu)件的變形在途徑單元的始末時刻發(fā)生突變，在途經(jīng)單元內(nèi)荷載及變形保持不變。

向量式有限元的處理和求解方式使其不需要建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，因此，結(jié)構(gòu)具有極大變形時，不會出現(xiàn)因為不收斂而無法求解的情況。

3 向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用現(xiàn)狀

目前向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域主要應(yīng)用在海洋平臺扶正預(yù)測、海洋導(dǎo)管架平臺樁腿的力學(xué)分析、海底管道不平整度分析等方面。

胡狄等基于向量式有限元方法，通過一個實例對Spar平臺的扶正過程進行預(yù)測模擬，并對各個時間點的運動響應(yīng)和整體結(jié)構(gòu)強度進行了詳細的分析，為Spar平臺扶正分析提供了新方法。

陳旭俊等采用基于向量式有限元法對導(dǎo)管架平臺的樁腿進行了力學(xué)分析，假定桿件為梁結(jié)構(gòu)，對導(dǎo)管架平臺進行靜力分析以分析局部結(jié)構(gòu)、整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)和力學(xué)性能，評估平臺整體結(jié)構(gòu)在極端環(huán)境條件下的安全性與可靠性。

徐雷閣等將向量式有限元方法應(yīng)用在求解海管不平整度上，求解中直接使用牛頓第二定律控制質(zhì)點的移動過程，不用生成總體矩陣，避免了矩陣非奇異而導(dǎo)致的不可解問題，具有拉格朗日體系的優(yōu)勢，利于計算。利用上述方法，設(shè)計了并行管土耦合海管不平整度分析軟件，并模擬了我國南海北部海域某海管的實例，計算結(jié)果與調(diào)查結(jié)果吻合良好，并且，通過分析，討論了3種工況對懸跨特征及管道彎矩的影響，進而提出了治理危險懸跨的方案。

曾國瑋使用向量式有限元方法對導(dǎo)管架平臺的二維模型進行了動力分析，考慮了阻尼材料的影響，得出了相關(guān)數(shù)據(jù)。利用平面鋼架單元對鋼架式海域結(jié)構(gòu)物在波浪作用下的動力特性進行了研究，采用微小振幅波理論計算波浪荷載，模擬了海洋結(jié)構(gòu)物中安裝粘彈性阻尼后的情形，對安裝阻尼后的結(jié)構(gòu)改變構(gòu)件尺寸的影響也進行了研究，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的自振頻率越小，阻尼的減震效果越好。

4 向量式有限元在海洋工程領(lǐng)域的應(yīng)用前景

目前向量式有限元目前主要應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)的分析中，在海洋工程中的應(yīng)用還很罕見，在海洋工程領(lǐng)域主要應(yīng)用在以上方面，向量式有限元還可拓展應(yīng)用于各類海洋平臺及海上結(jié)構(gòu)物如海上風(fēng)力機、船舶的錨鏈的破斷、漂移、碰撞等各類問題，在海洋工程領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用前景。

參考文獻

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