運用復變理論求解矩形洞室時復變轉化函數的修正

楊 峰

(上海理工大學環境建筑學院，上海 200093)

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運用復變理論求解矩形洞室時復變轉化函數的修正

楊 峰

(上海理工大學環境建筑學院，上海 200093)

介紹了平面彈性復變理論知識，針對求解矩形洞室在采用該理論中保角轉化函數精度的不足，對保角轉化函數引入修正因子，提高了在復平面轉化時矩形洞室截面轉化函數的計算精度。

矩形洞室，復變函數，保角轉化函數，修正因子

目前國內外的研究大多基于Savin(1961)[1]在其著作中系統闡述平面場中各類孔洞的應力場和位移場問題。由于圓形和橢圓形孔洞的復變函數求解，在進行保角轉化時是由有限項組成的精確的映射轉化函數，因此在進行轉化時是準確的。而對于矩形洞室只能通過截取泰勒級數有限項求出實際洞室的近似映射函數，因此有必要對轉化函數進行修正，以此來提高解析解的精度。對于地下矩形洞室，大多采用求近似的映射函數。劉宏才[2]采用梅林契耶夫方法，將作圖與計算結合交叉使用，求解出多種常用地下巷道的映射函數，但計算精度不高。范廣勤等(1993)[3]采用多角形法去逼近拱形直墻洞室，得到了一個近似洞室邊界形狀的映射函數，但此法不能滿足隧洞形狀的多樣性。皇甫鵬鵬(2011)[4]通過搜索邊界映射點的方法，推導出了求解映射函數表達式系數的新解法。祝江鴻等(2014)[5]在黎曼存在定理的基礎上，獲得了以洛朗級數有限項表示的單位圓外域到任意形狀斷面洞室外域的映射函數。因此本文主要針對復變理論中保角轉化函數精度不足，引入一個修正因子，從而來提高在由實平面向復平面轉化時矩形洞室截面表示函數的精度，最終得到較高精度的映射轉化函數。

1 平面彈性復變理論

通過保角變換，把z(z=x+iy)平面上矩形洞室外的區域變換

成為ζ平面上以原點為圓心單位圓內域如圖1所示。該洞室域的邊界線變換為單位圓圓周線，ζ在該復平面上對應表示成式(1)；當ρ=1時，表示矩形洞室上的所有點轉化為單位圓圓周上的所有點。因此ζ平面上任一點用極坐標表示為：

ζ=ρeiθ=ρ(cosθ+isinθ)

(1)

矩形洞室的準確映射函數由無限項組成，因此對應的保角轉化函數一般形式可以表示為式(2)[1]：

(2)

α=e2kπi

(3)

(4)

(5)

其中，R0一般為復數，在洞室孔口為軸對稱時為正實數，同時洞室對孔口尺寸的大小有決定作用；b和a分別為矩形洞室的長和寬(b≥a)；λ為矩形洞室長b與寬a的截面比率，此處為恒不小于1的數值；k與截面比率有關。

2 保角轉化函數的修正

將式(3)～式(5)代入式(2)，由歐拉公式合并整理可知，保角轉化函數可以表示成為關于λ的表達式，如式(4)所示。式(4)在其項數趨于無窮多項時，將圖1a)中矩形洞室外的無限域部分映射到圖1b)中的單位圓圓域內，此時映射函數是準確的，不存在誤差。但是實際計算時只能選取有限項，這時得到的結果雖然仍是函數形式，但是只能是近似解。如果映射轉化函數截取有限項數時，矩形洞室在角點處并非直角而是圓角，并且隨著ζ次冪項的遞增，圓角會緩慢趨近于直角。

(6)

其中:

在實際應用式(6)時，一般截取保角轉化函數的前四項：

(7)

通過式(7)將含有一個近似矩形洞室的無限體實平面映射到一個復平面的單位圓內部。特殊的時候有，當ρ=1時，則ζ=cosθ+isinθ，然后結合式(7)根據復數實部與虛部相互對應可以求得：

x=R0(cosθ+A0cosθ+B0cos3θ+C0cos5θ)

(8)

y=R0(-sinθ+A0sinθ+B0sin3θ+C0cos5θ)

(9)

取ζ平面上h(θ=0時)點值對應于z平面上矩形洞室長b的1/2，即：

(10)

同樣的有，取ζ平面上s(θ=-π/2時)點值對應于z平面上矩形洞室寬a的1/2，即：

(11)

聯立式(10)和式(11)兩式，可以得到轉化后的矩形洞室截面比率如下所示：

(12)

同時由式(10)可知：

(13)

整理式(13)得到：

(14)

由于λ恒為不小于1的數值，結合式(12)可以得到以下結論：在截取映射函數前四項時，初始截面比率恒小于映射轉化后的截面比率。同時知道矩形洞室映射轉化函數的系數與形式是明確的，因此可以通過對轉化函數中獨立變量λ進行修正來達到提高轉化函數精度的目的。此時修正因子f引入后，可以表示如下：

(15)

相應的有，修正后的映射轉化函數表示如下：

(16)

其中：

(17)

(18)

(19)

對于修正后的保角轉化函數，類似的可以得到：

(20)

(21)

根據式(8)與式(9)繪制圖2中修正前轉化曲線，根據式(20)與式(21)繪制出圖2中修正后轉化曲線。由于矩形洞室的對稱性，此處選取矩形洞的1/4來進行研究，假定矩形洞室長度b取20 m，寬度a取為5 m。通過圖2可以發現，保角轉化函數修正前由于僅截取其前四項，導致求解的矩形洞室截面尺寸與初始矩形洞室截面尺寸存在較大誤差，而引入修正因子后的修正轉化函數的截面尺寸與真實矩形洞室截面尺寸大大接近，轉化精度得到明顯提高。

3 結語

針對求解矩形洞室在采用復變理論中保角轉化函數精度的不足，通過引入一個修正因子，從而提高了映射轉化函數的轉化精度，達到了對映射轉化函數進行修正的目的。

[1] Savin G N.Stress concentration around holes[M]. London,UK:Pergamon Press,1961.

[2] 劉宏才.巷道斷面形狀對彈性圍巖力學狀態的影響[D].泰安:山東礦業學院,1987.

[3] 范廣勤,吳 汎.應用三個絕對收斂級數相乘法解非圓形洞室的外域映射函數[J].巖石力學與工程學報,1993,12(2):81-82.

[4] 皇甫鵬鵬,張路青.基于高效保角變換的單個復雜洞室圍巖應力場解析解研究[J].巖石力學與工程學報,2011,31(S2):3899-3901.

[5] 祝江鴻,楊建輝.單位圓外域到任意開挖斷面隧洞外域共形映射的計算方法[J].巖土力學,2014,33(1):176-184.

Modification of complex transformation function of rectangular cavity with complex variable theory

Yang Feng

(SchoolofEnvironmentandArchitecture，UniversityofShanghaiforScienceandTechnology，Shanghai200093，China)

The paper introduces horizontal elastic complex theories. In light of conformal conversion function accuracy failure applied in solving rectangular cavity, the correction factor of the conformal transformation function is introduced to improve the calculation accuracy of the cross section conversion function of the rectangular tunnel.

rectangular cavity, complex function, conformal transformation function, correction factor

1009-6825(2017)11-0060-03

2017-02-07

楊 峰(1988- )，男，在讀碩士

O174

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