考研數學利用洛比達法則求函數極限方法探討

楊淑菊

摘要：利用洛必達法則求未定式極限是研究生考試的重要內容，本文結合具體的問題探討應用洛必達法則求極限的計算方法與技巧。

Abstract： Using L'Hospital's rule to seek infinitive limit is an important content for the postgraduate examination. This paper combines specific problems to discuss calculation methods and skills according to the application of L'Hospital's rule.

關鍵詞：極限；洛必達法則；化簡

Key words： limit；L'Hospital Rule；simplification

中圖分類號：G633.66 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）17-0230-02

0 引言

極限是高等數學的一個重要的概念，研究生入學考試數學試題每年都有極限的問題，試題求解要求考生具備靈活應用知識解決問題的能力。縱觀近年的考研試題，發現極限題目大多可以用洛必達法則解決。本文結合具體的問題探討應用洛必達法則求極限的計算方法與技巧。

1 洛必達法則

設（1）當x→a（或x→∞）時，函數f（x）與g（x）都趨于零（都趨于無窮大）；（2）f'（x）與g'（x）在點a的某去心鄰域內（或者當x>X，X為充分大的正數）都存在，且g'（x）≠0；（3）存在（或無窮大）；則=。

2 實例

例1（2016年考研數學一）求極限：

解析：分子是一個變上限積分確定的函數，提示需用洛必達法則簡化分式。注意到x→0，1-cosx2～x4，在應用洛必達法則之前，先進行等價無窮小替換。

解：

例2（2008考研數學一）求極限：

解：原式=（用洛必達法則）

此題求解的過程首先應用重要極限公式=1進行化簡，之后用洛必達法則，在用完一次洛必達法則又進行化簡。一般的，在考研求有限個函數相加減的極限時，極限存在的先算出；求有限個函數相乘的極限時極限存在且不為零的先求出，這樣可以簡化求解過程。

例3（2014年考研數學一、二、三）求極限：

分析：分子是變限積分確定的函數，提示需用洛必達法則簡化分式。若直接對分子分母求導，分子可以簡化，分母則變復雜。注意到x→∞，→0，ln1+～先對分母做等價無窮小替換。

解：

在此我們看到一個∞-∞型未定式極限。對于∞-∞型未定式極限常用的方法有：①若函數中有分母，通常采用通分后將加減法轉化為乘除法，以便于應用其它的依據（比如洛必達法則）；②若函數中沒有分母，可采取提公因式、分子有理化、作倒代換等方法。當題設為x→∞時，可做倒代換t=，轉化為t→0再求解。

令u=，則

這時它又是一個型的未定式極限，再用洛必達法則

例4（2017考研數學二）求極限：

解析：分子是變限積分確定的函數且分子的被積函數含參數x，積分變量是t，在積分過程中x是常數，應將x分離出來提到積分號外。

解：令x-t=u，則有t=x-u，dt=-du；t=0，u=x；t=x，u=0

原式=

例5（1997年考研試題）求極限：

解：由=，x→0，ln（1+x）～x得

可用洛必達法則，但出現循環、繁瑣、不好約分化簡，注意到=1把它拆分后先算出。

一般地，若待求極限的函數表達式中含有當sin與cos或sinx與cosx時一般不用洛必達法則，而考慮用無窮小量的性質：無窮小量乘以有界變量仍是無窮小。

3 總結

洛必達法則是求解，未定式極限的一種非常有效的方法，應用洛必達法則之前要化簡，很多問題如果不化簡就計算，計算過程會非常的繁瑣，有的甚至可能計算不出結果。化簡的方法有：①求有限個函數相加減的極限時，極限存在的要先算出；②求有限個函數相乘除的極限時，極限存在且不為零的先算出；③等價無窮小替換。對于變限積分表示的函數求導時，如果被積函數中含參數，要先通過換元將參數分離出來，提到積分號前面再求導。

參考文獻：

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[2]陳文燈，黃先開.考研數學復習指南[M].北京：北京理工大學出版社，2015.

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