相對論色散關系與白矮星半徑的量子引力修正效應

陳海霖,顏 駿,余 毅,鐘 鑫

(四川師范大學 物理與電子工程學院,四川 成都 610066)

相對論色散關系與白矮星半徑的量子引力修正效應

陳海霖,顏 駿*,余 毅,鐘 鑫

(四川師范大學 物理與電子工程學院,四川 成都 610066)

研究狹義相對論中的變形色散關系,得到Lorentz破缺和光速變化的關系,分析量子引力放大效應作用下光速的變化.另外,根據修正色散關系計算白矮星的半徑-質量關系式.文獻(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)指出白矮星半徑的變化可能存在一些觀測效應,但他們并沒有討論這些效應的物理根源,研究結果表明:在放大效應或極高密度情況時,白矮星半徑的改變才比較明顯.

狹義相對論; 修正色散關系; 白矮星; 量子引力效應

1 預備知識

1905年愛因斯坦提出狹義相對論以來,該理論已成為現代物理學的三大基礎理論之一,并通過無數實驗加以驗證,如光速不變原理、時間膨脹效應、緩慢運動物體的電磁現象等[1],其中光速不變原理已通過天文觀測和粒子物理實驗加以驗證,目前還未發現光速發生變化或超光速現象的存在,但這些實驗都是在能標較低的情況下進行的.20世紀60年代,K.Greisen[2]、G.T.Zatsepin等[3]提出了GZK截斷猜想.由于宇宙線中的質子與宇宙微波背景光子發生作用而導致能量損失,因此這種高能粒子不能達到地球觀測點,但是在實驗觀測中發現更高能量的粒子事件,為了解釋GZK截斷現象,那么有可能修改狹義相對論中的Lorentz對稱性.

近年來,人們從各種研究角度重新研究了不同物理系統中的Lorentz破壞現象,如弦理論中的對稱性破缺[4]、非對易時空中的LI對稱性破缺[5-7]、粒子物理中的LI對稱性破缺[8]、圈量子引力中的LI對稱性破缺[9].本文將重點研究狹義相對論中的色散關系修正(MDR)[10],以及對應的LI對稱性破缺問題.由于粒子物理中的標準模型已獲得了無數實驗驗證,因此近年來人們將興趣轉向對超越標準模型的研究,如在1012eV能標以上粒子加速器可能驗證超對稱粒子和5維時空是否存在[11],在高能標下證實狹義相對論中的修正色散關系,以及LI對稱性是否成立,將是非常有意義的研究課題.

文獻[12-13]曾研究修正色散關系光子氣體的熱力學性質,結果發現量子引力效應對宇宙氦豐度有一定的修正,并且計算了氦豐度對高能光子和暗能量的約束;因此,修正色散帶來的量子引力效應可能對致密星體或早期宇宙的物理性質產生影響.

另外,A.Camacho[14-15]建議通過量子光子中的相干性質從光子氣體上探測修正色散關系,D.Mattingly[16]則較全面地綜述了粒子物理、天體物理和宇宙學中的Lorentz違反規律,當然,在何種能量標度上出現光速的變化或Lorentz對稱性破缺,則需要進一步精密實驗加以證實.

2 相對論力學中Lorentz變換的破缺效應

在狹義相對論中經典力學方程及對應的力學量都需要修正為Lorentz協變形式,光速不變原理可給出時空間隔平方為不變量,由此可以定義固有時間dτ、4維速度矢量Uu=(γu,iγc)和4維動量Pu=(γm0u,iγm0c),

(1)

u是物體的運動速度,c為光速,m0為物體靜止質量,當u?c,4維矢量的分量分別代表物體低速運動下物體的動量和能量.4維能量動量矢量還可表示為[17]

(2)

(3)

所以得到如下能量動量的色散關系式

(4)

如果考慮了量子引力效應的作用,那么這一色散關系的修正形式[18-19]可推廣為

(5)

其中,η為無量綱耦合系數,Ep為Planck能量,n為量子效應的放大或縮小指數.由于光子的靜質量m0=0,那么由(5)式可導出如下光速

(6)

所以在量子引力效應的作用下光速可能發生變化,當η>0,光速變大;當η<0,則光速變小.光速的有效變化值為

(7)

取E=p=1×1012eV,Ep=1019×109eV,可計算放大指數對應的光速變化值(見表1).

表1 量子引力效應作用下光速的變化值Table 1 The change of light speed under the action of quantum gravity effect

如果不存在放大效應,那么n=1,這時光速的變化非常微小,幾乎可以忽略;如果放大效應存在,那么隨著放大指數的減小,則光速的變化增大.在量子引力效應影響下,那么時空間隔量可定義為:

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

v1、v2、E1、E2、p1、p2分別表示2個坐標系中的光速以及能量和動量.由(8)～(11)式可以推導出時空間隔的變化量,Lorentz變換設為:

(12)

(13)

(14)

(15)

將(12)～(15)式代入(9)式后與(8)式相減得

δds2=ds′2-ds2=

(16)

其中

(17)

(18)

再將(17)和(18)式代入(16)式化簡得

(19)

這時無量綱Lorentz破缺量定義為

(20)

當E1=E2,p1=p2,由(7)和(20)式可得Lorentz破缺量和光速變化值的如下關系

(21)

因此,Lorentz破缺正比于光速變化的程度.如E和p處于1012eV能量標度,當n=1,由于光速的變化非常小,所以Lorentz破缺效應不明顯.只有E和p都處于Planck能量標度時,光速c的變化和Lorentz的破缺的程度才比較顯著.

3 MDR和電子氣體的簡并壓強

白矮星是一種半徑較小,光度較低的天體,其質量不超過Chandrasekhar極限,約為太陽質量的1.44倍,其密度約為107g/cm3,中心溫度約為107K(103eV).白矮星可看成是一種由氦組成的高溫高密度球體[20-21],其中氦處于一種離子化的狀態;因此,可將白矮星簡化為一種基態電子構成的理想模型,這些電子在氦核的背景中運動.氦核可以產生束縛引力而電子可產生簡并壓強,在這2種力的作用下星體處于一種平衡狀態[22].

文獻[23]首先研究了修正色散關系(MDR)對白矮星半徑-質量關系的影響,討論了和Lorentz對稱性破缺的聯系.文獻[24]分析了白矮星半徑中量子引力的放大效應,并指出極高密度情況下量子引力效應才比較明顯.文獻[25]則計算了MDR存在情況下的Chandrasekhar極限質量,結果發現量子引力耦合系數為正時,MMDR>Mch;當耦合系數為負時,MMDR

由(5)式可得到電子氣體的零點能量為

(22)

其中,V是體積,pF是Fermi動量,me是電子靜質量.這里已取c=1,現在分別計算(22)式中3項的積分值.第1項積分為

(23)

(24)

第3項積分為

(25)

第1項和第3項合并后用函數f(xF)表示為

(26)

同理,第2項積分為

(27)

綜上所述,可得到電子氣體的零點能量為

(28)

其中

(29)

接下來可根據E0計算出電子氣體的簡并壓強,于是有

(30)

首先在(28)式中第1項對體積微分得

(31)

當xF?1時

(32)

又因為

(33)

所以

(34)

其次,在(28)式中第2項對體積微分得

(35)

其中

(36)

所以

(37)

綜上所述,電子氣體的簡并壓強為

(38)

根據這一簡并壓強可進一步計算出白矮星中的半徑-質量關系式.

4 白矮星半徑的量子引力修正效應

在Chandrasekhar模型中白矮星的穩定性質要求引力壓強和Pauli簡并排斥力達到平衡,Newton引力給出的壓強為

(39)

其中,mp是質子質量,me是電子質量;并且

(40)

(41)

(42)

式中第2項是小量修正.進一步化簡后得

(43)

(44)

其中

(46)

(46)式為Chandrasekhar半徑,而(45)式為MDR形式下的修正半徑,它描述了量子引力效應對白矮星半徑產生的影響;因此半徑變化量和Chandrasekhar半徑的比值為

(47)

其中,n>0時,R修正>0,表示白矮星半徑變大;n<0時,R修正<0,表示白矮星半徑變小.因為(me/Ep)的數量級約為10-22,取不同的質量和放大指數可計算出白矮星的半徑變化值,如表2所示.

表2 對于不同質量和放大指數的白矮星半徑變化Table 2 The change radius of white dwarfs for the different mass and magnified index

從表2可以看出,當白矮星質量一定,隨著放大指數減小,半徑的變化值增大,并且其數量級變化非常大.當放大指數一定時,隨著白矮星質量變小,其半徑變化值也變小,但仍處于同一數量級.取白矮星的半徑Rchan=103km,如果放大效應不存在,這時n=1,那么其半徑變化值約為10-19km,這時白矮星的半徑變化幾乎可以忽略.另一方面,當M=0.8M0,n=1/8,η=10-3時,那么其半徑的變化值約為3.5 km.當M=0.6M0,n=1/6,η=0.5×10-3時,那么其半徑變化值約為2.3 km,在這種情況下白矮星的半徑有比較明顯的變化.

另外,白矮星半徑-質量關系式還可表示為如下的等價形式

(48)

其中

(49)

(50)

這里ρchan為Chandrasekhar半徑對應的密度.當ρchan≈ρ0時,如取n=1/8,那么ρchan～10-7.25GeV4,已接近于白矮星的中心密度[26],因此量子引力的放大效應比較明顯.如果放大效應并不明顯,并且半徑變化值較大,則要求ρchan遠大于白矮星的內部密度.只有量子引力存在放大效應時,才有可能觀測到白矮星半徑的顯著變化,或者說只有在極高物質密度情況下,才可能觀測到Lorentz對稱破缺的物理效應.

5 結論與討論

根據修正色散關系研究量子引力效應對光速和白矮星半徑的可能影響,結果表明只有放大效應存在時光速變化比較明顯.另外,在白矮星內部電子處于極高密度時,并且量子引力也存在放大效應,那么其半徑的變化才具有可觀測性.

本文仔細討論了修正色散關系對白矮星半徑的修正,考慮放大效應的作用后具體計算半徑的變化范圍.還研究了放大效應存在時白矮星半徑變化的規律,計算不同質量和放大指數對應的半徑變化數值,分析了物質密度對白矮星半徑變化的可能影響.

如果量子引力的放大效應存在,那么隨著放大指數的減小,則Lorentz破缺程度變大,即使處于1012eV以上能標,Lorentz破缺效應也可能比較明顯.這些由量子引力效應帶來的光速變化或Lorentz對稱性破缺,將由進一步的物理實驗加以證實或排除.因此,深入研究Lorentz協變性和破缺規律,將有利于人們對量子引力性質,光速變化或超光速現象的深入理解,這將是今后物理學中值得注意的一個研究方向.

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(編輯 鄭月蓉)

Relativity Dispersion Relation and Quantum Gravity Correction Effect for the Radius of White Dwarfs

CHEN Hailin,YAN Jun,YU Yi,ZHONG Xin

(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

The deformed dispersion relation in special theory of relativity is studied in this paper,the relation of Lorentz breaking and change of the light speed is obtained,we analyze that change of light speed under the action of quantum gravity magnified effect.In addition,the relation of radius-mass is calculated according to the modified dispersion relation.Literature(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)pointed out that it is possible to exist some observation effects for changing of white dwarf radius,but they did not discuss the physical origin of these effects.The results of this paper show that in the case of amplification effect or extremely high density,the change of white dwarf radius is more obvious.

special theory of relativity; modified dispersion relations; white dwarf; quantum gravity effect

2015-12-18

四川省教育廳自然科學重點科研基金(11ZA100)

O412; P145

A

1001-8395(2017)02-0205-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.011

*通信作者簡介：顏 駿(1965—),男,教授,主要從事量子場論和引力理論的研究,E-mail:yanjun5@sina.com