高階非線性代數(shù)微分方程組的亞純允許解

金 瑾

(畢節(jié)學(xué)院 數(shù)學(xué)系,貴州 畢節(jié) 551700)

高階非線性代數(shù)微分方程組的亞純允許解

金 瑾

(畢節(jié)學(xué)院 數(shù)學(xué)系,貴州 畢節(jié) 551700)

利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論,研究了高階非線性代數(shù)微分方程組的亞純允許解的存在性問題,獲得了微分方程組的亞純解或同為允許的,或同為非允許的,進(jìn)而得到了更一般的結(jié)果.

代數(shù)微分方程組; 亞純函數(shù); 允許解; Nevanlinna理論; 值分布理論

1 引言及主要結(jié)果

假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論的基本知識和通常記號[1-16].關(guān)于微分方程組的允許解問題,有很多作者做了大量的工作,得到了一大批很好的結(jié)果,如文獻(xiàn)[1-12].

對下面的高階非線性代數(shù)微分方程組

(1)

其中

(i1)和(i2)是有限指標(biāo)集,函數(shù){a(i1)(z)}、{b(i2)(z)}、{ai(z)}、{bj(z)}、{ci(z)}、{dj(z)}都是亞純函數(shù),且都是w1、w2的小函數(shù),即:

a11、a12、a21、a22為常數(shù),則可知λtj≤utj≤Δtj.

定義 1 設(shè)(w1,w2)是微分方程組(1)的亞純解,S(r)為微分方程組(1)的所有系數(shù)的特征函數(shù)之和,即

若(w1,w2)滿足S1(r)=o(T(r,w1)),S2(r)=o(T(r,w2))(r?I1),則稱(w1,w2)為(1)的亞純允許解，其中I1是一個(gè)對數(shù)測度為有窮的例外值集.

定義 2 設(shè)(w1,w2)是微分方程組(1)的亞純解,若(w1,w2)中的分量w1、w2滿足:

則分別稱分量w1、w2為微分方程組(1)允許分量，其中I2是一個(gè)對數(shù)測度為有窮的例外值集.

本文利用Nevanlinna值分布理論,對高階非線性代數(shù)微分方程組(1)的亞純允許解的存在性問題進(jìn)行了研究.根據(jù)以上定義以及眾多研究者研究的基礎(chǔ)上,得到以下改進(jìn)和推廣的結(jié)論.

定理 1 設(shè)(w1,w2)是非線性微分方程組(1)的有限級亞純允許解,且

則

定理 2 設(shè)(w1,w2)是微分方程組(1)的有限級亞純解,且

或

則(w1,w2)中的2個(gè)分量w1和w2或同為允許的或同為非允許的.

2 引理及證明

引理 1[11]設(shè)

是關(guān)于w(z)的不可約的有理函數(shù),系數(shù){ai(z)}、{bj(z)}是亞純函數(shù).如果w(z)是亞純函數(shù),則有

引理 2[12]設(shè)T:[0,+∞)→[0,+∞)是非減連續(xù)函數(shù),δ∈(0,1],s∈(0,+∞).若T是有限級,即

則

引理 3 設(shè)atk(i=1,2;k=1,2)為非零常數(shù)，

則

證明 因?yàn)?/p>

所以由文獻(xiàn)[13]的引理2得

(2)

1) 若z0為Ω1(z,w1,w2)的系數(shù)的極點(diǎn),則

2) 若z0為wk的極點(diǎn),則

由此可得

3) 若z0為wk-a1k的零點(diǎn),但不是wk的極點(diǎn),則

由1)～3)得到

由(2)和(3)式以及引理2可得

故

同理可得

即

引理 4 設(shè)w1、w2都是亞純函數(shù),且

則

其中I1和I2都是對數(shù)測度為有限的例外值集.

證明 由已知有

其中I1和I2都是對數(shù)測度為有限的例外值集,所以引理4成立.

3 定理及證明

定理1的證明 由引理1可得到:

由已知和引理3有

(6)

(7)

故由(4)～(7)式以及微分方程組(1)可得到:

(8)

(9)

因此由(8)～(9)式可得:

(10)

(11)

由(10)和(11)式即可得

定理2的證明 由已知和引理1、引理3以及微分方程組(1)可得:

(12)

(13)

若分量w1為允許的,w2為非允許的,則(8)式變?yōu)?/p>

由引理4可知,當(dāng)r→∞時(shí),除去一個(gè)對數(shù)測度為有限的例外值集外都有

這與定理2的已知矛盾.

若分量w2為允許的,w1為非允許的,則(9)式變?yōu)?/p>

由引理4也可知,當(dāng)r→∞時(shí),除去一個(gè)對數(shù)測度為有限的例外值集外都有

這與定理2的已知矛盾.

因此,(w1,w2)中的2個(gè)分量w1和w2或同為允許的或同為非允許的.

[2] 高凌云.復(fù)微分方程組m分量-可允許解[J].數(shù)學(xué)年刊,1997,18(2):149-154.

[3] 高凌云.關(guān)于兩類復(fù)微分方程組的允許解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,43(1):149-156.

[4] 高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2004,24(1):96-101.

[5] 高凌云.代數(shù)微分方程組允許解的值分布[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2007,27(4):629-632.

[6] 高凌云.Malmquist型復(fù)差分方程組[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,55(2):293-300.

[7] 高凌云.高階差分方程解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,56(4):451-458.

[8] 王鑰,高凌云.關(guān)于兩類復(fù)非線性微分方程的代數(shù)體函數(shù)解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2013,33(2):246-254.

[9] 吳桂榮.復(fù)域內(nèi)代數(shù)微分方程組的允許解[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1992,8(1):16-20.

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[11] LAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equation[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

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[13] 丁勇.一類微分方程組的非可允許分量[J].暨南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(1):25-18.

[14] HILLE E.Ordinary Differential Equations in the Complex Domain[M].New York:Wiley Interscience,1976.

[15] 金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,52(1):51-55.

[16] 金瑾.一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,47(1):4-7.

2010 MSC：30D35; 39A10; 39A12

(編輯 周 俊)

Meromorphic Admissible Solution of Systems of High Order Nonlinear Algebraic Differential Equations

JIN Jin

(DepartmentofMathematics,BijieCollege,Bijie551700,Guizhou)

In this paper,by using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions,the existence of meromorphic admissible solutions of complex high order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is proved that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible,and some more general results are obtained.

algebraic differential equations systems; meromorphic function; admissible solution; Nevanlinna theory; value distribution

2014-12-30

貴州省科學(xué)技術(shù)基金(2010GZ43286和2012GZ10526)和貴州省畢節(jié)市科研基金([2011]02)

金 瑾(1962—),男,教授,主要從事復(fù)分析的研究,E-mail:jinjin62530@163.com

O174.52

A

1001-8395(2017)02-0189-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.008