考慮界面張力和液滴變形影響的攜液臨界流量模型

李元生藤賽男楊志興廖恒杰馬戀李寧

1.中海石油（中國）有限公司上海分公司研究院；2.中國石化上海海洋油氣分公司勘探開發研究院

考慮界面張力和液滴變形影響的攜液臨界流量模型

李元生1藤賽男2楊志興1廖恒杰1馬戀1李寧1

1.中海石油（中國）有限公司上海分公司研究院；2.中國石化上海海洋油氣分公司勘探開發研究院

現有的攜液臨界流量模型通常認為界面張力及曳力系數為常數，忽略溫度及壓力對界面張力、液滴尺寸及液滴變形對曳力系數的影響，造成預測攜液臨界流量的結果與實際結果有較大差異。為了更準確預測氣井攜液臨界流量，首先通過分段擬合界面張力實驗數據，建立界面張力公式，然后引入變形液滴曳力系數公式及液滴變形程度和液滴尺寸之間的關系式，得到考慮界面張力和液滴變形影響的攜液臨界流量模型。研究結果表明，溫度越高，壓力越大，界面張力越小，攜液臨界流量越小；液滴尺寸越大，液滴變形越嚴重，液滴高寬比越小，曳力系數越大，攜液臨界流量越小。實驗表明，模型預測數據與氣井微觀液滴積液實驗數據基本吻合一致，其準確度遠遠高于Turner模型和李閩模型。新模型能夠更加準確預測不同液滴尺寸下的攜液臨界流量，符合氣田開發規律，為油氣田開發提供技術指導。

界面張力； 液滴變形 ； 液滴尺寸； 曳力系數； 積液

氣井攜液臨界流量的準確計算對于采氣和開發工程方案的編制有重要意義［1-8］。1969年Turner分析了垂直管流中液相的流動方式，認為液滴模型可以較準確預測積液的形成，其模型中液滴呈球形，曳力系數取0.44，界面張力為60 mN/m，模型適用條件為氣液比大于1 367 m3/m3，流態屬于霧狀流［9］。之后許多學者分別在模型調整系數、液相流動方式、液滴形狀等方面作了改進，但是仍然有些因素沒有被考慮到［10-15］。例如，氣水界面張力通常被認為是常數60 mN/m，而實驗表明其數值隨壓力與溫度的變化而變化［16-18］；液滴變形高寬比固定，導致對應曳力系數為常數，而實驗表明其受到氣體速度和壓力的影響［19-22］。在前學者研究的基礎上，考慮界面張力、液滴尺寸和變形影響，建立新的攜液臨界流量模型，以更加準確地預測氣井攜液臨界流量。

1 界面張力模型

Interfacial tension model

Firoozabadi于1988年首次根據實驗測量的甲烷 （CH4）、丙烷（C3H8）、正丁烷（n-C4）、正戊烷（n-C5）、正己烷（n-C6）、苯（C6H6）、正辛烷（n-C8）和正十二烷（n-C12）的數據，認為烴與水之間的界面張力、擬對比溫度和烴水密度差滿足一定關系，以烴水密度差Δρwh為橫坐標，函數（σhw0.25/Δρwh）Tr0.3125為縱坐標，可

以得到不同組分的烴/水界面張力函數曲線，如圖1所示。Danesh于1988年利用Firoozabadi提供的實驗數據，回歸出了界面張力經驗公式為［16］

圖1 不同組分的烴/水界面張力函數Fig.1 Interfacial tension function of hydrocarbon/ water with different components

式中，Δρwh為烴水密度差，g/cm3；σhw為烴水、氣水或者油水界面張力，mN/m；ρw為水的密度，g/cm3；ρh為烴的密度或者氣和油的密度，g/cm3；Tr為擬對比溫度。

Sutton于2007年在新實驗數據的支持下，對Danesh模型進行改進，得到新的模型為［22］

Sutton通過數據分析改進舊模型，假設臨界溫度為常數，建立了新的界面張力模型為［23］

式中，T為熱力學溫度，°R。上述3個模型的密度差范圍為0 ～1 g/cm3，包含油相和氣相2個區域，模型對油水和氣水界面張力的預測均通用，但是由于同時擬合了油水和氣水界面張力實驗數據，模型整體擬合的精度降低，為了獲得更精確的氣水界面張力，通過分段擬合，即只擬合密度差大于0.4 g/cm3的氣相階段，得到更加準確的氣水界面張力經驗公式為

式中，σgw為氣水界面張力，mN/m；ρg為氣相密度，g/cm3。比較新模型式（4）與Danesh模型、Sutton模型在密度差大于0.4 g/cm3時的誤差，如圖2所示。Danesh模型平均絕對誤差為7.7%；Sutton模型平均絕對誤差為12.1%，而新模型平均絕對誤差為2.8%，計算精度更高。

圖2 絕對誤差直方圖Fig.2 Absolute error histogram

如圖3所示為利用新模型繪制的不同溫度和壓力下的界面張力曲線。從圖中可知，壓力越大，溫度越高，氣水界面張力越小；氣體相對密度越大，氣水界面張力越小。當壓力和溫度分別為0～40 MPa和20～200℃時，界面張力范圍為30～75 mN/m，不能看成常數。

圖3 界面張力曲線Fig.3 Interfacial tension curve

2 液滴變形特征

Droplet deformation characteristics

液滴在氣相中運動時，氣體作用于液滴上的曳力為

式中，Fd為氣體對液滴的曳力，mN/m；Cd為曳力系數，與液滴大小、液滴形狀及雷諾數有關；Ad為液滴迎風面積，即液滴在流動方向上的投影，m；vg為氣相速度，m/s。實驗觀察液滴下降過程中通常大液滴首先呈球形、橢球形或者半漢堡形狀，下降過程中逐漸破碎變小，變為球形。魏納于2007年在高速照相機下捕捉高速空氣中液滴的形狀，表明液滴在高速氣流中的形狀是橢球形，且液滴并不保持一個固定形狀，而是在上升過程中不斷變化，液滴越往上越趨近保持球形［20］。

3 變形液滴曳力系數模型

Deformable droplet drag coefficient model

假設液滴體積不變，只在外力作用下液滴表面積發生變化，且液滴不與其他液滴合并，液滴本身也不發生分裂。則液滴會在壓差作用下由球形變成橢球形。

如圖4所示，ds為球形液滴的直徑，m；d為液滴變形后迎風面直徑，m；h為橢球體短軸高度，m。液滴等效直徑比φ為球形液滴直徑與變形后迎風面直徑比，即φ=ds/d。當液滴為橢球形時，其表面積近似為

液滴變形前后體積不變，即ds3=d2h，則液滴變形程度系數為

圖4 液滴變形Fig.4 Droplet deformation

式中，φ為液滴變形程度系數，為與變形液滴體積相等的等效球形表面積與實際液滴表面積的比值。當氣液相對速度不大時，液滴保持球形，可以利用球形液滴曳力系數計算攜液臨界流量，但是當液滴發生變形以后，曳力系數和液滴迎風面積相應的發生改變，用球形液滴曳力系數計算誤差可能高達30%，對于非球形剛性顆粒，可以應用如下曳力系數表達式進行計算［26］

式中，μg為氣體動力黏度，Pa·s。從式（8）可知，曳力系數與液滴大小有關。液滴為了保持液滴形狀不產生分裂，最大液滴韋伯數的范圍為20～30，可以表述為

式中，Nw為球形液滴韋伯數；dmax為球形液滴最大直徑，m。

根據Turner模型可以得到球形液滴最大直徑為

4 考慮液滴尺寸和變形影響的攜液臨界模型

Critical liquid carrying models with consideration of droplet size and deformation

氣體攜液滿足的基礎力學條件為向上曳力等于液滴重力，即

假設液滴在氣流中受到前后壓差作用，發生變形，變形前后體積不變，則液滴體積和投影面積為

式中，Vd為液滴為球形時的體積，m3。

考慮到攜帶液滴直徑d=dmax時，聯立式（14）、（16）、（17）、（18）得到攜液臨界流速為

式中，vcr為攜液臨界流速，m/s。模型中液滴等效直徑比反映了液滴的變形程度，而變形程度又與液滴尺寸有關，Shi Juntai于2014年給出了液滴厚度（圖4中h）與長度（圖4中d）之間的關系

式中，α為液滴厚度與長度之比。

根據式（6）和式（20），可以得到最大液滴等效直徑比為

聯立界面張力公式（式4）、變形系數公式（式7）、曳力系數公式（式8）、韋伯數公式（式14），攜液臨界流速公式（式19）、等效直徑比公式（式21），若液滴尺寸未知，還需結合最大液滴公式（式15），假設攜液臨界流量和曳力系數初始值分別為Turner模型和0.44，通過方程組隱式迭代求解得到曳力系數和攜液臨界流量。最后得到氣井攜液臨界流量為

式中，qcr為攜液臨界流量，m3/d；Aw為井筒橫截面面積，m2；p為井筒壓力，MPa；Z為偏差因子；T為溫度，K。

5 參數敏感性分析

Parameter sensitivity analysis

（1）界面張力對攜液臨界流量影響。如圖5所示為氣體相對密度為0.7，溫度為100℃時，利用新模型計算當界面張力為常數（60 mN/m）和界面張力隨壓力變化時不同壓力下的攜液臨界流速。考慮界面張力變化的攜液臨界流速要比界面張力為常數時的小，計算精度更高。且隨著壓力的增大，攜液臨界流速的計算精度提高百分比，逐漸從4%上升至12.5%，平均提高了8%。

圖5 考慮界面張力影響的攜液臨界流速曲線Fig.5 Critical liquid carrying flow velocity curve considering the effect of the interfacial tension

（2）液滴尺寸和液滴變形。如圖6所示為壓力15 MPa，溫度50℃時不同液滴尺寸下液滴變形程度、曳力系數的變化趨勢。從中可知，當液滴特別小時（1 mm），等效直徑比及變形程度系數接近1，曳力系數近似0.44，液滴呈球形基本不發生變形；隨著液滴尺寸從1 mm增大到10 mm時，等效直徑比從1減小到0.75，變形程度系數從1減小到0.45，曳力系數從0.44增大到4.3，液滴呈橢球形變形程度逐漸加大。

圖6 液滴變形程度及曳力系數曲線Fig.6 Droplet deformation degrees and drag coefficient curves

如圖7所示為不同液滴直徑下攜液臨界流速。從中可知，當液滴特別小時（約為1 mm），液滴形變不明顯，所得到的模型與Turner模型相同；隨著液滴變大，液滴變形嚴重，曳力系數增大，攜液臨界流速變小。在一定液滴大小及形狀下，模型簡化為常用的攜液臨界流量模型，例如李閩模型對應的液滴尺寸為8 mm，等效直徑比為0.8，液滴變形程度系數為0.65。

圖7 考慮液滴變形的攜液臨界流速Fig.7 Critical liquid carrying flow velocity with consideration of droplet deformation

6 模型驗證

Model verifications

利用文獻中介紹的氣井積液實驗數據驗證新模型的準確性，該實驗通過數碼攝像機捕捉微觀液滴實際形狀，采用數字流量計對注入高壓氣體計量［20,22］。液滴實驗先采用小氣量實驗，然后加大注氣量，待注入液體使井底積液實現穩定不再增長，這時的注氣量即為臨界產量，同時觀察并記錄壓力傳感器的數據，該數據即為對應井口壓力值。觀察數字溫度計數據，得到該組實驗對應的井口溫度。實驗發現在低壓條件下，液滴最小為1 mm，液滴合并最大為4～5 mm，運動液滴近似為橢球體的形狀，高寬比約為0.9。且實際氣流中液滴會由于力矩的不平衡出現翻滾從而減小有效迎流面積。采用相同的條件，計算氣井攜液臨界流量與實驗數據對比，如圖8所示。從圖中可知，在相同條件下計算攜液臨界流量，Turner公式系數為6.6，李閩公式系數為2.5。與實驗數據相比，Turner公式計算的結果偏大，而李閩公式計算結果偏小。考慮液滴尺寸為4.5 mm、變形后高寬比為0.9時，新模型公式系數為4.75，與實驗數據吻合最好。

圖8 模型預測與實驗數據對比Fig.8 Comparison of model prediction and experimental data

7 結論

Conclusions

（1）建立了考慮界面張力、液滴尺寸和液滴變形影響的攜液臨界模型。模型首先通過分段擬合界面張力實驗數據，建立界面張力公式，然后引入變形液滴曳力系數公式及液滴變形程度和液滴尺寸之間的關系式，得到更加符合實際的攜液臨界流量模型。

（2）界面張力隨壓力和溫度變化，壓力越大、溫度越高，氣水界面張力越小；氣體相對密度越大，氣水界面張力越小。當壓力和溫度分別為0～40 MPa和20～200℃時，界面張力范圍為30～75 mN/m，考慮界面張力影響的攜液臨界流量比界面張力為常數時的計算精度要高。

（3）液滴尺寸和變形對攜液臨界流量影響較大。當液滴特別小時，液滴在壓差下基本不發生形變，液滴基本呈球形，曳力系數近似0.44；隨著液滴直徑越大，液滴越容易變形，液滴高寬比越小，曳力系數越大，攜液臨界流速變小。考慮了液滴尺寸和液滴變形影響的新模型與實驗數據吻合良好。

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（修改稿收到日期 2017-01-20）

〔編輯 李春燕〕

Critical liquid carrying flow rate model with consideration of interfacial tension and droplet deformation effect

LI Yuansheng1,TENG Sainan2,YANG Zhixing1,LIAO Hengjie1,MA Lian1,LI Ning1
1.Research Institute of Shanghai Branch,CNOOC(China)Co.,Ltd.,Shanghai200335,China;
2.Exploration and Development Research Institute of Shanghai Offshore Oil and Gas Company,SINOPEC,Shanghai200120,China

At present,the interfacial tension and drag coefficient are usually considered as the constants by the critical liquid carrying flow rate model,and the effect of temperature and pressure on the interfacial tension and the influence of droplet size and deformation on drag coefficient both are neglected.Thus,the prediction of critical liquid carrying flow rate has great difference from the actual results.In order to predict the critical liquid carrying flow rate of the gas wells more accurately,first,the interfacial tension formula was established by segmental fitting the experimental data of the interfacial tension;then,the critical liquid carrying flow model with consideration of the effect of the interfacial tension and droplet deformation was obtained by introducing the deformable droplet drag coefficient formula and the relationship formula between the droplet deformation degree and the droplet size.The research results show that the higher the temperature and the pressure are,the smaller the interfacial tension and critical liquid carrying flow rate are.Besides,the bigger the droplet size is and the more serious the droplet deformation is,the smaller the height-width ratio is,the bigger the drag coefficient is and the smaller the critical liquid carrying flow rate is.The experimental results indicate that the model can agree well with the experimental data of microscopic droplet effusions of the gas wells.Moreover,the new model can predict the critical liquid carrying flow rate with different droplet sizes more accurately and be more suitable to the development rules of the gas fields.

interfacial tension;droplet deformation;droplet size;drag coefficient;effusions

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國家科技重大專項 “東海厚層非均質性大型氣田有效開發關鍵技術”（編號：2016ZX05027-004）。

李元生（1986-），2015年畢業于中國石油大學（北京）油氣田開發工程專業，獲博士學位，現從事凝析氣藏、低滲氣藏開發技術研究，工程師。通訊地址：（200335）上海市長寧區通協路388號A647室。E-mail：lys6891@163.com