用變分迭代方法求解自變量分段連續型微分方程

汪圣祥，金朝永，陳 玲

（廣東工業大學應用數學學院 廣東 廣州 510520）

用變分迭代方法求解自變量分段連續型微分方程

汪圣祥，金朝永，陳 玲

（廣東工業大學應用數學學院 廣東 廣州 510520）

本文主要利用變分迭代方法求解自變量分段連續型延遲微分方程，得到的變分迭代解收斂于真實解，由此得到了變分迭代法也可以作為求解向前型EPCA方程的一種有效方法.

變分迭代法；延遲微分方程；拉氏乘子；限制變分

0 引言

變分迭代是由Inokuti[1]提出來的，何吉歡[2-4]推廣了的，用來解一些線性、非線性和具有初值以及邊值條件等問題一種方法.變分迭代法對于解非線性問題是一種有力的方法已經被驗證.隨著變分迭代法的發展，研究者們[5-9]用變分迭代法求解了許多微分方程的近似解，并且得到了較好的結果，但是沒有用變分迭代法求解EPCA方程，因此用變分迭代法求解EPCA方程作為一個新的課題，具有一定的研究價值.本文主要用這種方法來求解自變量分段連續型延遲微分方程，并用數值實例說明此方法對于解自變量分段連續型延遲微分方程是有效的.

1 超前型EPCA的變分迭代解

1.1 超前型EPCA的解析解

本章主要考慮下面的微分方程：

定理1[10]如果對于任意給定的x0，方程（1）在［0，＋∞）上有唯一的解x（t）：

證明 下面用數學歸納法給出定理1的證明

當n＝0和1時成立，

假設當n＝k時成立，則

由迭代公式（5）得

即當n＝k＋1時成立，故定理2正確.

當t∈［1，2）時，迭代格式為

即當i＝k＋1時成立，故原定理正確.

2 數值實驗

在本節中，將結合具體的例子來說明用變分迭代法可以快速、便捷的求出超前型EPCA的近似解，并且近似解和精確解的形式一致.

例 考慮下面的方程

當i＝0時，解析近似解的圖像與真實解的圖像如圖1.

圖1 各階解析近似解的結果與精確解x（t），n＝5，10，13（左圖）和n＝19（右圖）

當i＝1時，解析近似解的圖像與真實解的圖像如圖2.

圖2 各階解析近似解的結果與精確解x（t），n＝5，10，13（左圖）和n＝19（右圖）

當i＝8時，解析近似解的圖像與真實解的圖像如下圖3.

圖3 各階解析近似解的結果與精確解x（t），n＝5，10，13（左圖）和n＝19（右圖）

當i＝15時，解析近似解的圖像與真實解的圖像如圖4.

圖4 各階解析近似解的結果與精確解x（t），n＝5，10，13（左圖）和n＝19（右圖）

由圖1-4可知隨著迭代次數的增加，變分迭代解越來越接近于真實解.

4 結論

本文用變分迭代法來解方程（3），得到了很好的結論，用理論和數值實驗驗證了變分迭代法解求解自變量分段連續型微分方程的可行性，求解過程比較簡單，能夠快速的得出結果.

[1]INOKUTI M，SEKINE H，MURA T.General use of the lagrange multiplier in nonlinear mathematical physics[M]//Variational Methods in the Mechanics ofSolids.[S.l.]：Pergamon，1980：156-162.

[2]HE J H.Some asymptotic methods for strongly nonlinear equation[J].Int J Mod Phys，2006，20（10）：1144-1199.

[3]HE J H.Variational iteration method-some recent results and new interpretations[J].J Comput Appl Math，2007，207（1）：3-17.

[4]HE J H，WU X.Variational iteration method：newdevelopments and applications[J].Comput Math Appl，2007，54（7/8）：881-894.

[5]HE J H.Variational iteration method-a kind of non-linear analytical technique：some examples[J]. International Journal ofNon-linear Mechanics，1999，34：699-708.

[6]HE J H.Variational iteration method for autonomous ordinary differential systems[J].Applied Mathematics and Computation，2000，114（2/3）：115-123.

[7]SHANG X，HAN D.Application of the variational iteration method for solving n n mathContainer Loading Mathjax th-order integro-differential equations[J].Journal of Computational&Applied Mathematics，2010，234（5）：1442-1447.

[8]LIU H L，XIAO A G，ZHAO Y X.Variational iteration method for delay differential-algebraic equations[J]. Mathematical and Computational Application，2010，15（5）：834-839.

[9]李歆.延遲微分方程的變分迭代法[D].武漢：華中科技大學，2012

[10]WIENER J.Generalized solutions of functional differential equations[M]//Generalized solutions of Functional Differential Equations.Singapore：World Scientific，1993：170-182.

Variational Iteration Method for Differential Equation with Piecewise Continuous Arguments

WANG Shengxiang,JIN Chaoyong,CHEN Ling
（School of Applied Mathematics,GuangdongUniversityof Technology,Guangzhou 510520,Guangdong,China）

In this paper,the use of variational iteration method for solving piecewise continuous delay differential equation is proposed.Moreover,the analytical approximation solutions in different intervals are given and the convergence is proved.Finally,variational iteration method can also be used as an effective method for solving equations of forward-EPCA.

variational iteration method;delay differential equations;Lagrange multiplier; restricted variation

O175

A

2016-06-22

汪圣祥（1989—），男，漢族，湖北省咸寧市人.研究方向：微分動力系統.E-mail：275816186@qq.com

1001-4217（2017）02-0018-08