一道課本習題的改編與賞析

廣東省惠州市惠陽區華南師范大學附屬惠陽學校 林永珍

一道課本習題的改編與賞析

廣東省惠州市惠陽區華南師范大學附屬惠陽學校 林永珍

縱觀近幾年全國各地中考試題，其中很多題目都是課本例題習題改編而成，這類題不僅較好地體現了命題的原則，依據大綱，遵循教材，尊重學生，關注課堂，而且緊扣大綱和教材，體現了基礎性和學好課本的重要性，有著非常重要的導向作用，不僅能引導師生重視基礎，重視教材，研究教材，用好用活教材，而且能激發學生學習數學的興趣，挖掘例題的功能，促進學生對知識本質的理解。教材是教學必不可少的重要資料，而教材例習題是數學教材的重要組成部分，同時又是檢驗學生掌握知識程度與能力高低的主要手段，一方面，教材例習題可以起到復習﹑鞏固知識，加深學生對知識理解和記憶的作用，另一方面，教材例習題能夠啟發思維，是培養學生分析問題﹑解決問題能力的重要載體。

下面，我就對新人教版九年級上冊第十三章旋轉復習鞏固習題第5題進行改編賞析。

原題：如圖1，△ABC和△ECD都是等邊三角形，△ECB可以看作是△DAC經過平移﹑軸對稱或旋轉得到的。說明得到△EBC的過程。

解：∵△ECD是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°，同理CA=CB，∠ACB=60°，

∴以點C為旋轉中心，將△DAC逆時針旋轉60°就可得到△EBC。

本題以等邊三角形為載體，對于旋轉問題，首先應明確旋轉的性質，哪個是旋轉中心，哪些線段是相等的，哪些角是相等的，要用旋轉的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形旋轉的性質。

改編（1）：如圖2，連接P﹑Q，求證：△PCQ為等邊三角形。

證 明 ∵ △BCE≌ △ACD， ∴ ∠CAD=∠CBE，∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACE=180°-60°-60°=60°。在△AQC和△BPC中，∠CAQ=∠CBP，∠ACQ=∠BCP ，AC=BC，∴△ACQ≌△BCP（AAS），∴CP=CQ，∴△CPQ是等邊三角形。

改編二：如圖3，已知△ABC和△ECD都是等邊三角形。

（1）已知B﹑C﹑D三點在一條直線上，求證BE=AD；

（2）保持△ABC不動，將△ECD繞點C順時針旋轉，使∠ACE=90°（如圖4），則BC與DE有怎樣的位置關系？說明理由。

題目分析：（1）利用等邊三角形的性質和已知條件證明△ACD≌△BCE即可；（2）BC垂直平分DE，延長BC交DE于M，證明∠ECM=∠DCM，利用三線合一證明即可。

證明：（1）∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°。

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE。 ∴AD=BE。

（2）BC垂直平分DE，理由如下：

如圖5，延長BC交DE于M，

∵ ∠ ACB=60 °， ∠ ACE=90 °，∴∠ECM=180°-∠ACB -∠ACE=30°。∵∠DCM=∠ECD-∠ECM= 30°，∴∠ECM=∠DCM。∵△ECD是等邊三角形，∴CM垂直平分DE，即BC垂直平分DE。

試題賞析：本題以三角形為背景，以線段和角的關系為目標，整合三角形的性質﹑全等三角形的判斷等知識，充分體現了中考數學考試說明中的以問題為載體，以知識為基礎，以思維為主線，以能力為目標，全面考查學生的學習潛能，力求體現出重視基礎，關注思想，加強應用，發展能力的試題特征，與學業考試的目標指向：有利于減負，有利于教育均衡相一致的指導思想，教與學立足于基礎，注重創新思維的訓練，注重學生解決問題能力的培養，力爭做到發揮好一個問題背景的作用。

改編三：如圖6，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N。

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖6），求證：M為AN的中點；

（2）將圖6中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖7），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖6中的△BCE繞點B旋轉到圖8位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由。

（1）證明：如圖6，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM。∵點M為DE的中點，∴DM=EM。

∴△ADM≌△NEM，∴AM=MN，∴M為AN的中點。

（2）證明：如圖7，∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°。

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°，∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°，∴∠NEC=135°。∵A，B，E三點在同一直線上，∴∠ABC=180°-∠CBE=135°。∴∠ABC=∠NEC。∵ △ADM≌ △NEM（ 已 證）， ∴AD=NE。 ∵AD=AB，∴AB=NE。

∴ △ABC≌ △NEC。 ∴AC=NC， ∠ACB=∠NCE。∴∠ACN=∠BCE=90°。∴△ACN為等腰直角三角形。

（3）解：△ACN仍為等腰直角三角形。

證明：如圖8，此時A﹑B﹑N三點在同一條直線上。

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°。∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°-90°-90°=180°。

∵A﹑B﹑N三點在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°。∴∠ABC=∠NEC。∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE。∵AD=AB，∴AB=NE。

試題賞析：本題考查了全等三角形的判定與性質﹑平行線的性質﹑等腰直角三角形的判定與性質﹑多邊形的內角與外角等知識，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題。將課本原題中的等邊三角形改為等腰直角三角形，通過類比聯想引申拓展，可以達到解一題會一類的目的。

一個多次出現的問題背景，利用曾經證明的結果，稍加改編，就能將動態思想﹑方程思想等在此進行綜合應用，通過雙基整合﹑數學建模﹑實踐操作﹑探究開放綜合應用等途徑，讓學生經歷做數學和用數學的過程，發展他們的數學符號感﹑空間感﹑應用意識和數學能力，合理評價學生掌握數學知識和形成數學能力的狀況，評價學生的情感態度和價值觀。將特殊三角形置于其中，不斷更新，改編出一組綜合性強，條件簡潔直觀的問題，關注學生的推理能力﹑探究能力，演繹了旋轉的精彩變換。

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