Camassa-Holm方程的一種三層守恒有限差分格式

常 紅， 丁丹平

(1.陜西廣播電視大學 工程與建筑學院， 陜西 西安 710119； 2.江蘇大學 理學院， 江蘇 鎮江 212013)

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Camassa-Holm方程的一種三層守恒有限差分格式

常 紅1， 丁丹平2

(1.陜西廣播電視大學 工程與建筑學院， 陜西 西安 710119； 2.江蘇大學 理學院， 江蘇 鎮江 212013)

對Camassa-Holm方程的初邊值問題建立了一種三層的守恒有限差分格式，驗證了該差分方程解的能量守恒性，對差分解進行了模估計.并用離散能量方法證明了該差分方程的解在L∞范數下是無條件收斂且穩定的，最后說明三層差分格式比兩層差分格式更容易求解.

Camassa-Holm方程； 有限差分格式； 收斂性； 穩定性

0 引言

最近幾年來,人們對Camassa-Holm方程解的問題已經做了大量的研究工作.Camassa-Holm方程含有重力影響下在自由表面水波無向運動的不可壓縮Euler方程的小振幅展開中的高階項，如果去掉這些項就可以導出正則長波(RLW)方程和Korteweg-de Vries(KDV)方程.有很多學者用有限差分方法對RLW方程和KDV方程以及它們的派生方程做了大量的工作[1-9].但很少有人用有限差分方法來研究其數值解.在此背景下，本文就Camassa-Holm方程的初邊值問題建立了一種三層守恒的有限差分格式，并用離散能量方法證明了該差分方程的解在L∞范數下是無條件收斂且穩定的.

本文研究如下的初邊值問題：

ut-utxx+3uux=2uxuxx+uuxxx

(1)

u(0,x)=u0(x),(x≥0)

(2)

u(t,0)=u(t,L)=0,(t≥0)

(3)

它滿足如下的能量守恒律：

(4)

1 記號和引理

對平面有界區域Ω={(x,t)|0≤x≤L,0≤t≤T}做網格剖分[10]，設τ=T/N(≥0)為時間步長，h=L/J(≥0)為空間步長，得到網域：

(xj,tn),xj=jh(0≤j≤J),tn=nτ(0≤n≤N).

C表示一般常數(即在不同的地方表示不同的值).

引入下面的記號:

引入如下內積與范數：

(un,vn)=‖un‖2

引理2 (離散Gronwall不等式[12]) 假設

2 差分格式的建立和守恒律

建立如下差分格式：

(5)

(6)

(7)

證明：

(6)式即由(4)式得證.

引理4 差分格式(5)滿足如下的離散守恒律[13]：

(8)

故有

3 差分格式的收斂性與穩定性的檢驗

定理1 對差分格式(5)的解有如下估計[14]：

(9)

此外，由引理1可得‖un‖∞≤c.

證明：對差分格式(5)在點(xj,tn)處進行泰勒展開得

整理得到線性部分在點(xj,tn)處滿足

非線性部分在點(xj,tn)處滿足

定理3 差分格式(5)的解依L∞范數[15]收斂到初邊值問題(1)～(3)的解，收斂階為O(τ2+h2).

(10)

式(10)～式(5)得

(11)

令

(12)

(13)

(14)

由定理1和柯西-施瓦澤不等式可得上式

(15)

由引理3，定理1和柯西-施瓦茨不等式可得上式

(16)

故由(14)、(15)、(16)式即可得到如下估計式：

(17)

再由(14)、(17)式可將(13)式做如下估計：

Cτ‖Rn‖2

(18)

則有

(19)

故(19)式可表示為：

φn-φn-1≤Cτ(φn+φn-1)+Cτ‖Rn‖2

將上式從0到n-1求和得

此外

e0=0

故有

又由引理2可得

φn≤O(τ2+h2)2

于是有

故由定理2得

‖en‖∞≤O(τ2+h2)

證畢.

定理4 差分格式(5)的解依L∞范數穩定.

類似定理3的證明，同時考慮上初邊值條件，可得

‖en‖2≤C‖U0-u0‖2

由此穩定性即證.

4 結論

本文建立了一個求解Camassa-Holm方程初邊值問題的三層守恒的有限差分格式，證明了該差分方程的解在L∞范數下是無條件收斂且穩定的.

本文建立的三層守恒的有限差分格式可以寫成一個三對角線性方程組，如果給定初值，在求解時只需要解一個三對角方程組，和兩層的差分格式[16]相比較求解更容易，可以避免解復雜的非線性方程組.

[1]HuanWang,ShuguangLi,JueWang.AconservativeweightedfinitedifferenceschemeforthegeneralizedRosenau-RLWequation[J].Computational&AppliedMathematics,2015,71(4):1-16.

[2]JunZhou,MaoboZheng,RenXiuJiang.TheconservativeschemeofthegeneralizedRosenau-KdVequation[J].JournalofThermalScience,2016,20(3):903-910.

[3] 郭 瑞,王周峰,王振華.Kdv淺水波方程的Crank-Nicolson差分格式[J].河南科技大學學報(自然科學版),2012,33(2):71-74.

[4] 胡勁松,徐友才,胡 兵.耗散對稱正則長波方程的平均隱式差分格式[J].高等學校計算數學學報,2012,34(4):300-307.

[5] 陳利婭,胡勁松.Rosenau-KdV方程的一個非線性守恒加權差分逼近[J].西北師范大學學報(自然科學版),2016,52(5):18-23.

[6] 陳 濤,卓 茹,胡勁松.廣義Rosenau-Kawahara方程的一個非線性守恒差分逼近[J].四川大學學報(自然科學版),2016,53(2):265-269.

[7] 王婷婷,胡勁松.Rosenau-KdV方程的一個線性守恒加權差分逼近[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2016,33(4):94-99.

[8]TaoNie.Adecoupledandconservativedifferenceschemewithfourth-orderaccuracyforthesymmetricregularizedlongwaveequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2013,219(17):9 461-9 468.

[9]MaoboZheng,JunZhou,AnjanBiswas.Anaveragelinearschemeforthegeneralizedrosenau-KdVequation[J].JournalofAppliedMathematics,2014,2014(2):1-9.

[10] 孫志忠.偏微分方程數值解法[M].北京：科學出版社，2012.

[11]RCamassa,DDHolm.Anintegrableshallowwaterequationwithpeakedsolitons[J].PhysRevLett,1993,71(11):1 161-1 164.

[12]AConstantin.ThecauchyproblemfortheperiodicCamassa-Holmequation[J].DifferentialEquations,1997,141(2):218-235.

[13]AllenFlavell,MichaelMachen,RobertEisenberg,etal.Aconservativefinitedifferenceschemeforpoisson-nernst-planckequations[J].JournalofComputationalElectronics,2014,201(1):35-43.

[14] 崔 進,吳宏偉.一類波動方程初邊值問題的高階差分格式[J].應用數學,2014,27(1):166-174.

[15] 劉建康,李曉旺.具邊界反饋波動方程的有限差分格式[J].山西大學學報(自然科學版),2016,39(1):1-11.

[16] 常 紅.Camassa-Holm方程的守恒有限差分格式[J].高等學校計算數學學報,2012,34(1):78-86.

【責任編輯：陳 佳】

A three-level conservative finite difference scheme for Camassa-Holm equation

CHANG Hong1， DING Dan-ping2

(1.College of Engineering and Architecture, Shaanxi Radio & TV University, Xi′an 710119, China; 2.School of Science, Jiangsu University, ZhenJiang 212013, China)

A three-level conservative finite difference scheme is estabilished for Camassa-Holm equation with dirichlet boundary value condition in this paper,the energy conservation of the solution of the difference equation is proved,the solution of the scheme is estimated.It is proved that the difference scheme is unconditionally stable and convergent in theL∞norm.Finally,it is shown that the three-level difference scheme is easier to solve than the two-level difference scheme.

Camassa-Holm equation; difference scheme; stability; convergence

2017-03-05

國家自然科學基金項目(11371175)； 陜西廣播電視大學校級科研課題(15D-07-B02)

常 紅(1985-)，女，陜西寶雞人，講師，碩士，研究方向：非線性發展方程

2096-398X(2017)03-0186-05

O241.82

A