圓錐曲線上的一個性質的探究

新疆大學附屬中學 常曉兵

圓錐曲線上的一個性質的探究

新疆大學附屬中學 常曉兵

在高中選修 2-1 第二章 2.2.1《橢圓及其標準方程》中，有這樣一道例題：如圖 1，設點 A、B 的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積是求點P的軌跡方程。

圖1

圖2

探究二：如果我們將左右兩個端點換成上下兩個端點，上述探究結論是否成立？

在探究一中將 A（-a，0），B（a，0）兩點換成 C（0，-b），D（0，b）。P（x，y）為橢圓上異于 C，D 兩點的任意一點（如圖 3），試證

通過探究，當左、右端點換成上、下端點時，結論仍然成立。

探究三：從探究一和二中可以看出 A，B兩點和C，D兩點分別是橢圓在x軸與y軸上的端點。

圖3

A，B 關 于 中 心 對 稱，C，D 關 于 中心 對 稱。 猜 測 若取 兩 個 點是橢圓上任意直徑的兩個端點（如圖4）。證明

將⑥⑦代入⑤中，得：可知結論成立。

探究四：由于該結論在橢圓中驗證成立，那么在雙曲線中該結論是否也成立呢？于是，我們繼續探究。

圖4

圖5

由雙曲線方程知：

通過以上探究，可知對于橢圓、雙曲線都符合這個結論，對于圓是否也成立呢？

如圖 6，設過圓 O 圓心的直線交圓于 P1、P2兩點，顯然即可以歸納為：平面內與兩定點的連線的斜率的乘積為定值的點的軌跡可以是：圓、橢圓、雙曲線。

圖6