從類似問題對比教學中獲得的思考

江蘇省泰興市第一高級中學 殷 峰

從類似問題對比教學中獲得的思考

江蘇省泰興市第一高級中學 殷 峰

從探討兩道類似問題的解法中，根據學生出現的錯誤進行分析和反思，教師調整解題方式，以提高教學效果，同時通過實例體驗，讓學生了解多解性思考的重要性。以培養學生的反思能力，養成反思習慣，達到高效學習的目標。

解法；橢圓；直線；思維；定向；多解

一、兩個問題

在直線和橢圓位置關系的教學中，筆者列舉了兩道類似問題，分別如下：

問題 1：已知過橢圓 的右焦點作一條斜率為2的直線與 橢圓交于 A，B 兩點，O 為坐標原點，則 △ OAB 的 面積為問題2：已知過橢圓的右焦點作一條直線與橢圓交于A，B 兩點，O 為坐標原點，則△ OAB 的面積的最大值為。

這是兩個類似問題，屬于姊妹題。問題1是定直線求三角形面積問題，問題2是動直線求三角形面積最值問題。從教學實踐來看，學生對于問題1的解答基本都能完成，但是對于問題2卻非常容易陷入解題困境，多數是運算方面的，也有方式方法選擇方面的。筆者對兩個問題進行了思考：將定直線改為動直線之后，為什么學生犯錯的可能性就大大升高了呢？針對這一疑惑，筆者展開了分析探究。

二、對比分析

此題組考查的內容：（1）知識層面：直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質和三角形面積、函數求最值等內容；（2）方法層面：化歸為函數求最值問題；（3）思想層面：利用代數解決幾何問題的解析思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想等。

對于問題 1，學生基本能掌握，但是對于問題 2，大部分學生將直線設為的形式，用解決相關列式，但是最終的問題主要是：其一，學生在引入直線時未進行分類討論，即直線斜率不存在的情況沒有考慮；其二，學生不會求解高次分式型函數的最值。

辨析解法：

問題1：此題屬于定直線求三角形面積。

分析：此法利用方程求解，這是大部分學生求解的思路，也是本題考查的主要意圖——弦長公式的應用，方法常規，因此學生易想到。

問題2：此題屬于動直線求三角形面積最值問題。動直線可分為平行直線系和定點直線系。那么兩種動直線對于三角形面積最值的求解又有何區別和聯系呢？為此，筆者改編為平行直線系求三角形面積最值的問題。

分析：平行直線系變化過程中只保持了直線的傾斜程度不變，而未過定點，因而不能將面積劃分為幾個小三角形面積的和或差，但可以用 化歸為二次函數求最值問題來解決，當然在求解過程中，要強調 的作用。

問題2解法辨析：

法 一： 當 直 線 AB 的 斜 率 不 存 在 時，當 直 線 AB 的 斜 率 存 在 時， 設 直 線 AB： ，

分析：此法容易想到，但是大部分學生都只能做到這里，面積的最值無法解下去。而這個分式函數的最值是函數較難的值域問題，學生對這樣的模型接觸不深，而且這個分式型函數的最值問題一直以來是學生的難點之處，因此講解這個分式型函數的最值求解方法之余還得介紹相對簡便的解決方法，例如：

法二：由題意可知，斜率為0的直線無法構成三角形，故可設 直 線 AB：

從兩道類似問題的解決中，我們不難發現運算和思考是蹺蹺板的兩端，沒有思維的結果勢必導致大量運算的產生，導致運算困難重重；有高層次的思考，則降低了運算的困難，讓問題的解決獲得了更多的思維含量，這正是教學所需要的。

[1]吳成海 ．數學試題創新應著力于思維培養 [J]．中學數學，2013（8）．

[2]王建鵬 ．一道試題的析題展示 [J]．福建中學數學，2013（9）．