應用反例，培養數學思維能力

江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校 沈 奕

應用反例，培養數學思維能力

江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校 沈 奕

在初中數學的教學過程中，常常會發現學生們因為對知識理解有偏差，或者因為其他原因而出現多種多樣的問題。因此，老師可以將學生們的這種“錯誤”巧妙地融合到反例中，加強學生們對問題的認識度，進而培養他們的數學思維能力。文章從多個角度，縝密思維；辯證真假，靈活思維；透析概念，抽象思維；學以致用，創新思維四個方面，闡述了如何在初中數學教學中應用反例，培養學生的數學思維能力。

初中數學；數學教學；反例；思維能力

新課程標準指出：在教學過程中應注重多方面培養學生們的思維能力。初中數學是鍛煉學生們正確理解數學思維并靈活加以應用的重要階段。在數學教學過程中，常常會發現學生們因為對知識理解有偏差，或者因為其他原因而出現多種多樣的問題。因此，我在教學過程中，將學生們的這種“錯誤”巧妙地融合到反例中，加強學生們對問題的認識，進而培養學生們的數學思維能力。

一、多個角度，縝密思維

在眾多人的認識當中，都認為研究數學的人們思維都十分縝密，的確如此，數學知識的理解和掌握確實需要我們有嚴謹的態度和縝密的思維，但是在日常的練習或考試中，學生們就會發現有些錯誤的出現往往并不是因為自己不會做，而是因為自己在解題的過程中太馬虎大意，這就對我們在思考問題時的邏輯思維提出了更高的要求。反例應用，使學生們可以從多個角度看問題，很好地提升了學生們思維的嚴密性。

反例的應用需要學生們掌握好知識的脈絡，有足夠好的知識梳理能力。它不僅給予了學生們從另外的角度理解知識的一種方法，還對學生們的思維能力提出了更高的要求，巧妙應用反例，有利于縝密數學思維。

二、辯證真假，靈活思維

在數學的證明題中，我們習慣的思維是從題目的正面入手，根據題目的已知條件從正面解決問題，但是有時候我們會發現從正面解決問題會很難，在這個時候不妨試試應用反例進行證明。在數學問題中，有許多時候應用反例解決問題反倒使我們的思維更加靈活。

如在數學中經常出現真假命題的判斷，利用反例，就可以很好地解決此類問題。例如：已知兩個實數a、b不等于0，如果a＜b，那么1/a＞1/b。學生們代入了幾組數據，結果驗證這個命題是正確的。我就為學生們列舉了其中的一個反例：假如a=-2，b=1，代入其中時就會發現1/a＞1/b這個命題是假的，一個反例就可以把這個問題解決了。學生們紛紛詢問反例應當如何給出，我就帶領學生進行進一步的分析：由于1/a-1/b=（b-a）/ab，從題中我們已知a＜b，所以可以知道只有在ab＞0時，1/a-1/b才大于0，命題才成立，所以反例就應該在ab＜0的范圍內去尋找，我們又已知a＜b，所以在這個范圍中找反例就好了。這樣靈活地進行分析總結，很大程度地降低了做題的盲目性，提高了做題的效率。

運用反例其實是一種很好的逆向思維能力，當按照常規的思維進行求解比較復雜時，需要學生們學會換位思考，應用逆向思維進行求解，往往會“柳暗花明又一村”。

三、透析概念，抽象思維

大多數數學概念都比較抽象，如一元二次方程、無理數、椎體等，如果單單拿出來為學生們講解其概念，學生們聽起來就會感覺迷茫，再加上有的概念不僅抽象，還十分相似，這就會使學生們對知識的應用產生混淆，更加打擊學生們學習的積極性。因此，在教學中應用反例，幫助學生們對一些易混概念進行比較學習，使學生們更好地抓住知識的本質，提高學習興趣。

有時候學生們對概念的理解常常步入誤區，例如：無限不循環的小數為無理數，學生們就會經常將其誤解為：無限小數或者是帶有根號的數都是無理數。為了使學生們對概念加以區分，我為學生們舉了以下反例，如：2.13131313……，這樣的無限循環小數便不是無理數。還有當根號內為一個數的平方時，也不是無理數。學生們在以后解題時，就能將其與反例進行對比，減少了失誤。又如：分式方程的概念為：分母里含有未知數的方程叫作分式方程。有時候學生們對一些分母里含有參數的方程也會誤以為是分式方程，我就為學生們列舉了一個關于x的方程：（3x+6）/b=3，雖然分母里含有b，但是其不是未知數，因此不是分式方程。還有命題：如果一個多邊形的每條邊都相等，那么它是正多邊形。如果一個多邊形的每一個角都相等，那么他也是正多邊形。當我們在做題時想到菱形和矩形這兩個反例，就能很容易判斷出該命題為假命題了。

應用反例有助于學生們對易混知識進行對比學習，區別其中的差異，更加理解知識之間的本質和聯系，在教學的過程中達到使學生們不僅“知其然”，還要“知其所以然”的教學目標，使學生們簡簡單單地區分概念，輕輕松松地掌握知識。

四、學以致用，創新思維

荀子曰：“不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也?！逼鋵崒W習知識也是如此，學習知識的目的就是應用于實際的生活當中，解決實際的生活問題。在教學的過程中恰當地應用反例來激發學生們對數學知識的應用，有助于提高學生們的創新思維能力。

在正面的教學過程中選擇恰當的時機融入一些反例，有助于學生們打破常規的思維，更加深入地探究知識的應用，從而學生們不僅理解了特殊的知識點，還懂得應當如何應用知識，使學生們體會到知識的價值。

數學是一門十分嚴謹的學科，也是一門對思維能力有很高要求的學科。在我的教學中，通過多個角度、辯證真假、透析概念、學以致用的方法，巧妙引入反例，使學生們在認識上發生由量變到質變的過程，培養學生們的思維更加具有縝密性、靈活性、抽象性和創新性。

[1]盛保和．淺議初中數學教學中如何培養學生的數學思維能力[J]．教育教學論壇，2013（06）：96-97．

[2]李濤．初中數學教學中如何提升學生的思維能力[J]．中國教育技術裝備，2016（05）：126-127．

[3]仲崇猛．在反例中求正解——談初中數學教學中對反例的應用[J]．黑龍江教育，2015（02）：53-54．