多角度研究帶電小球在水平磁場中的下落軌跡

摘 要：對于帶電小球（考慮重力）在水平勻強磁場中的下落，高中學生普遍不清晰其運動軌跡，特別是對帶電小球運動至最低點時的運動狀態存在認識上的誤區，本文從定性、半定量、定量等多方面進行研究論證，以解決學生在該認知上的困惑.

關鍵詞：帶電小球；勻強磁場；下落軌跡；多角度研究

作者簡介：胡曉強（1982-），男，大學本科，學士學位，中學高級教師，主要從事高中物理教學研究工作，承擔物理競賽教學及自主招生輔導工作.

題目 如圖1所示，一個質量為m、帶電量為q（q>0）的小球，在磁感應強度為B的足夠大的勻強磁場中由靜止下落，問小球的最終運動狀態如何，是否可能會出現小球做勻速直線運動的情況？

筆者在教學中發現，有相當多的學生認為在勻強磁場中下落時，由于帶電小球受到洛倫茲力的作用而逐漸向右偏轉，最終洛倫茲力與小球重力平衡，從而向右做勻速直線運動，整個過程有如圖2所示的運動軌跡；另有一部分學生雖然意識到帶電小球最終不是做勻速直線運動，但小球的運動狀態卻無法求解確定.

怎樣有效的利用現有的高中物理知識來解決學生在該認知上的困惑，筆者試從定性、半定量、定量等多角度進行研究論證.

解析1 如圖3，設小球下落運動到B點時，速度為水平方向，則在B點之前的極短一個時刻（對應圖中A點），設A點速度vA與水平方向成Δθ角度（Δθ→0）.

在A點，速度vA有豎直向下的分量vAy，而接下來瞬間（對應B點）速度達到水平時無此豎直方向速度的分量，即小球在這個過程由于受到豎直向上的合外力而在豎直方向上做減速運動，因此有

qvABcosΔθ>mg（1）

∵A至B過程，只有重力對小球做正功

∴vA

則由（1）（2）必定有qvBB>mg

故當帶電小球運動到水平方向時，向上的洛倫茲力大于重力，小球仍會向上偏轉運動而不是保持水平方向的勻速直線運動.

解析2 如圖4，帶電小球在運動過程中的任意時刻，設其水平方向的分速度為vx，豎直方向的分速度為vy，所以此時帶電小球在水平方向的加速度ax=Fxm=qvyBm

∴Δvx=axΔt=qvyBm·Δt

∴兩邊求和有∑Δvx=qBm∑vyΔt

又∵∑Δvx=vx，∑vyΔt=y

∴由以上兩式得vx=qBm·y

當帶電小球運動到速度水平時，其速度v=vx

∴此時小球在豎直方向上的位移y=mvqB

則小球在從出發點O運動至最低點B過程中，只有重力做功（洛倫茲力不做功），由動能定理：

mgy=12mv2 得B點速度v=2mgqB

則此時帶電小球所受洛倫茲力f=qvB=q·2mgqB·B=2mg>mg

∴小球會繼續往上偏轉而不是保持水平方向的勻速直線運動.

當然，以上僅是定性地說明小球最終不是做水平方向上的勻速直線運動，那其運動性質能否進一步確定呢？

解析3 如圖5，將速度分解為水平向左的速度v1和水平向右的速度v2，因為小球初始狀態初速度v0=0（靜止），則有v1=v2

令qv1B=mg 即v1=mgqB

則小球的運動等效為水平向右以速度v1做勻速直線運動，同時在豎直平面內做速度大小為v2、半徑為R=mv2qB=m2gq2B2的勻速圓周運動，由數學知識定義可知，其運動軌跡為擺線.

對于帶電小球精確的運動軌跡求解，還需借助高等數學的知識進行論證.

解析4 以帶電小球的初始位置為坐標原點O，建立如圖6所示坐標系，根據牛頓第二定律，可知小球的運動微分方程：

md2xd2t=qBdydt①

md2yd2t=mg-qBdxdt ②

初始條件：

t=0，x0=0，y0=0，dxdtx=0y=0=0，dydtx=0y=0=0

令ω=qBm則有：

dxdt=ωy③

dydt=gt-ωx④

d2xdt2=gωt-ω2x⑤

d2ydt2=g-ω2y⑥

根據微分方程d2ydt2+k2y=f（x）（其中k>0）通解：

y=acoskx+βsinkx+1k∫xx0f（t）sin（kx-t）dt

解方程⑤⑥得：

x=ω2g（ωt-sinωt） ⑦

y=ω2g（1-cosωt）⑧

因此，小球的軌跡是xOy平面內的擺線（滾輪線）.

由③⑦⑧式得：

dydt2=2gy-ω2y2 ⑨

令⑨式中dydt=0，求得y的最大值ym=2gω2，此時d2xdt2m=0，即為小球運動到最低點時對應的值.

1.根據③式得dxdtm=2gω；

2.根據⑥式得d2ydt2m=-g；

3.令⑥式中d2ydt2=0，則y=12ym=gω2；

4.根據④式，小球從O點到最低點的時間為tm=2ω；

5.根據⑤式，xm=gtmω=2gω2.

根據以上1、2、3點的結果，從力學角度來看，盡管小球在最低點時dydtm=0，dxdtm=2gω≠0，但在該點d2ydt2m=-g≠0，也就是說小球在最低點受到豎直向上的洛倫茲力是重力的兩倍，小球在最低點以后的運動不可能沿x方向做勻速直線運動而是會向上偏轉.

結束語：通過以上定性、半定量、定量等多角度的研究，讓不同程度的學生都能在各自認知水平上對帶電小球（考慮重力）在水平勻強磁場中的下落軌跡有了更進一步的理解，解決了學生在該認知上的困惑.同時在解析過程中涉及了運動的合成與分解、微元法、能量守恒等高中階段常用的物理方法，又結合了數學中幾何知識、先微分再積分的思想方法，多樣化的解題思路，也拓展了學生的視野，符合“全面提高學生科學素養”新課改理念.

參考文獻：

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[3]周曉東.帶電小球在勻強磁場中運動一例.山東大學學報，2000（7）：137-138.