多角度研究帶電小球在水平磁場中的下落軌跡

摘 要：對于帶電小球（考慮重力）在水平勻強(qiáng)磁場中的下落，高中學(xué)生普遍不清晰其運(yùn)動(dòng)軌跡，特別是對帶電小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在認(rèn)識上的誤區(qū)，本文從定性、半定量、定量等多方面進(jìn)行研究論證，以解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.

關(guān)鍵詞：帶電小球；勻強(qiáng)磁場；下落軌跡；多角度研究

作者簡介：胡曉強(qiáng)（1982-），男，大學(xué)本科，學(xué)士學(xué)位，中學(xué)高級教師，主要從事高中物理教學(xué)研究工作，承擔(dān)物理競賽教學(xué)及自主招生輔導(dǎo)工作.

題目 如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的小球，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的足夠大的勻強(qiáng)磁場中由靜止下落，問小球的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何，是否可能會出現(xiàn)小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的情況？

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)多的學(xué)生認(rèn)為在勻強(qiáng)磁場中下落時(shí)，由于帶電小球受到洛倫茲力的作用而逐漸向右偏轉(zhuǎn)，最終洛倫茲力與小球重力平衡，從而向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程有如圖2所示的運(yùn)動(dòng)軌跡；另有一部分學(xué)生雖然意識到帶電小球最終不是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，但小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)卻無法求解確定.

怎樣有效的利用現(xiàn)有的高中物理知識來解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑，筆者試從定性、半定量、定量等多角度進(jìn)行研究論證.

解析1 如圖3，設(shè)小球下落運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，速度為水平方向，則在B點(diǎn)之前的極短一個(gè)時(shí)刻（對應(yīng)圖中A點(diǎn)），設(shè)A點(diǎn)速度vA與水平方向成Δθ角度（Δθ→0）.

在A點(diǎn)，速度vA有豎直向下的分量vAy，而接下來瞬間（對應(yīng)B點(diǎn)）速度達(dá)到水平時(shí)無此豎直方向速度的分量，即小球在這個(gè)過程由于受到豎直向上的合外力而在豎直方向上做減速運(yùn)動(dòng)，因此有

qvABcosΔθ>mg（1）

∵A至B過程，只有重力對小球做正功

∴vA

則由（1）（2）必定有qvBB>mg

故當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)到水平方向時(shí)，向上的洛倫茲力大于重力，小球仍會向上偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng).

解析2 如圖4，帶電小球在運(yùn)動(dòng)過程中的任意時(shí)刻，設(shè)其水平方向的分速度為vx，豎直方向的分速度為vy，所以此時(shí)帶電小球在水平方向的加速度ax=Fxm=qvyBm

∴Δvx=axΔt=qvyBm·Δt

∴兩邊求和有∑Δvx=qBm∑vyΔt

又∵∑Δvx=vx，∑vyΔt=y

∴由以上兩式得vx=qBm·y

當(dāng)帶電小球運(yùn)動(dòng)到速度水平時(shí)，其速度v=vx

∴此時(shí)小球在豎直方向上的位移y=mvqB

則小球在從出發(fā)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)B過程中，只有重力做功（洛倫茲力不做功），由動(dòng)能定理：

mgy=12mv2 得B點(diǎn)速度v=2mgqB

則此時(shí)帶電小球所受洛倫茲力f=qvB=q·2mgqB·B=2mg>mg

∴小球會繼續(xù)往上偏轉(zhuǎn)而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng).

當(dāng)然，以上僅是定性地說明小球最終不是做水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，那其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)能否進(jìn)一步確定呢？

解析3 如圖5，將速度分解為水平向左的速度v1和水平向右的速度v2，因?yàn)樾∏虺跏紶顟B(tài)初速度v0=0（靜止），則有v1=v2

令qv1B=mg 即v1=mgqB

則小球的運(yùn)動(dòng)等效為水平向右以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在豎直平面內(nèi)做速度大小為v2、半徑為R=mv2qB=m2gq2B2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由數(shù)學(xué)知識定義可知，其運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線.

對于帶電小球精確的運(yùn)動(dòng)軌跡求解，還需借助高等數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行論證.

解析4 以帶電小球的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖6所示坐標(biāo)系，根據(jù)牛頓第二定律，可知小球的運(yùn)動(dòng)微分方程：

md2xd2t=qBdydt①

md2yd2t=mg-qBdxdt ②

初始條件：

t=0，x0=0，y0=0，dxdtx=0y=0=0，dydtx=0y=0=0

令ω=qBm則有：

dxdt=ωy③

dydt=gt-ωx④

d2xdt2=gωt-ω2x⑤

d2ydt2=g-ω2y⑥

根據(jù)微分方程d2ydt2+k2y=f（x）（其中k>0）通解：

y=acoskx+βsinkx+1k∫xx0f（t）sin（kx-t）dt

解方程⑤⑥得：

x=ω2g（ωt-sinωt） ⑦

y=ω2g（1-cosωt）⑧

因此，小球的軌跡是xOy平面內(nèi)的擺線（滾輪線）.

由③⑦⑧式得：

dydt2=2gy-ω2y2 ⑨

令⑨式中dydt=0，求得y的最大值ym=2gω2，此時(shí)d2xdt2m=0，即為小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的值.

1.根據(jù)③式得dxdtm=2gω；

2.根據(jù)⑥式得d2ydt2m=-g；

3.令⑥式中d2ydt2=0，則y=12ym=gω2；

4.根據(jù)④式，小球從O點(diǎn)到最低點(diǎn)的時(shí)間為tm=2ω；

5.根據(jù)⑤式，xm=gtmω=2gω2.

根據(jù)以上1、2、3點(diǎn)的結(jié)果，從力學(xué)角度來看，盡管小球在最低點(diǎn)時(shí)dydtm=0，dxdtm=2gω≠0，但在該點(diǎn)d2ydt2m=-g≠0，也就是說小球在最低點(diǎn)受到豎直向上的洛倫茲力是重力的兩倍，小球在最低點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)不可能沿x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)而是會向上偏轉(zhuǎn).

結(jié)束語：通過以上定性、半定量、定量等多角度的研究，讓不同程度的學(xué)生都能在各自認(rèn)知水平上對帶電小球（考慮重力）在水平勻強(qiáng)磁場中的下落軌跡有了更進(jìn)一步的理解，解決了學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.同時(shí)在解析過程中涉及了運(yùn)動(dòng)的合成與分解、微元法、能量守恒等高中階段常用的物理方法，又結(jié)合了數(shù)學(xué)中幾何知識、先微分再積分的思想方法，多樣化的解題思路，也拓展了學(xué)生的視野，符合“全面提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)”新課改理念.

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