一題多解是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種手段

邢森棟+?ず撾闌?

摘 要：本文通過一道例題解答談?wù)勔活}多解在落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用.

關(guān)鍵詞：一題多解；核心素養(yǎng)

作者簡介：邢森棟（1983-），男， 中學(xué)二級教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)解題的研究.

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中表現(xiàn)，它在學(xué)生自主發(fā)展中發(fā)揮不可替代的作用，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn).

作為一線教師，筆者常常思考如何在課堂教學(xué)中有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？從平凡的日常教學(xué)中思考落實(shí)新理念的方法，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑，應(yīng)成為思考的基礎(chǔ)出發(fā)點(diǎn).數(shù)學(xué)離不開解題，本文就通過對例題的一題多解來談一談筆者對于核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落實(shí)的思考.

一、問題解析

問題 已知等差數(shù)列{an}，公差為d，滿足a21+a23=10，求a4最大值.

上述問題，看似求單變元a4最值問題，實(shí)際是a1+3d的二元最值問題，我們要通過現(xiàn)象抽象出本質(zhì).二元問題一般先考慮利用條件消去a1+3d中的a1或d，轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值問題，本題較復(fù)雜不好轉(zhuǎn)化，我們考慮其它想法.

解法1 數(shù)形結(jié)合（線性規(guī)劃）

a4=-12a1+32a3，故可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=10，求-12x+32y的最大值.（解略）.

評注 本解法實(shí)際就是將看似數(shù)列問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)與形看似對立，實(shí)則統(tǒng)一.當(dāng)要求的目標(biāo)函數(shù)有比較明顯的幾何意義，或經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化后式子中產(chǎn)生有幾何意義的部分，我們可以考慮用線性規(guī)劃解決.例如：目標(biāo)函數(shù)為|x+y-2|，可將其轉(zhuǎn)化為2·|x+y-2|2，原問題就轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線x+y-2=0距離的2倍，當(dāng)然本例也可分類討論解決.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，注重抽象能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)的概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，有利于學(xué)生在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡，理解數(shù)學(xué)學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征.

解法2 換元法

令a1=10cosθa3=10sinθ（θ∈[0，2π）），通過待定系數(shù)法得a4=-12a1+32a3=-1210cosθ+3210sinθ=5sin（θ-φ）≤5，當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=310，cosθ=-110時取等號.

評注 事物間是普遍聯(lián)系的，有時兩者間的表面上毫無聯(lián)系，實(shí)際是隱隱中聯(lián)系著的.題目中已知和未知之間的關(guān)系比較復(fù)雜，我們可以引入一個中間量，利用中間量起到紐帶的作用改善這種復(fù)雜關(guān)系.看到△2+◇2=a2轉(zhuǎn)化為（△a）2+（◇a）2=1，聯(lián)想到cos2θ+sinθ=1這個模型，就可以進(jìn)行三角換元了.

解法3 主元法

（a4-3d）2+（a4-d）2=10化簡得5d2-4a4d+a24-5=0，關(guān)于d的方程有解，故△≥0，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5 .

評注 方程是溝通已知變量和未知變量的橋梁.主元法是通過不同的角度看待題中的參數(shù)，構(gòu)造與問題相應(yīng)的二次方程，考慮方程在實(shí)數(shù)集R上有解利用Δ≥0求解最值.若變量a1>0，d>0，考慮△≥0，就有問題.因?yàn)椤鳌?只能保證方程有解，而不一定有正數(shù)解，解題時使用該法要慎重.本解法實(shí)際上就是二次方程有實(shí)數(shù)解Δ≥0這一模型的實(shí)際應(yīng)用.

解法4 配方法

a21+a23=10化為a21+2a1d+2d2-5=0.a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ.令△=（6+2λ）2-4（9+2λ）（1+λ）=0，解得λ=0（舍）或λ=-5.

所以a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）

=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ

=-4a21-4a1d-d2+25

=-（2a1+d）2+25

≤25，-5≤a4≤5.

評注 從整體考慮問題，借助待定系數(shù)法令△=0解出相應(yīng)系數(shù)，這樣的操作必然會使多項(xiàng)式配成完全平方，再利用不等式放縮獲得關(guān)于a24的不等式.靈感來自圓系方程和△=0時二次方程有等根.解題時要學(xué)會知識的遷移，這就要求我們要從整體認(rèn)識數(shù)學(xué)課程，因?yàn)橹R和知識之間不是孤立的，而是普遍聯(lián)系著的. 本解法實(shí)際上就是二次方程有兩個相等實(shí)數(shù)解△=0這一模型的實(shí)際應(yīng)用.培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成從整體的角度思考問題和解決問題的習(xí)慣；有利于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解決現(xiàn)實(shí)問題的自信.

解法5 不等式法

（1）基本不等式法

a24=（-12a1+32a3）2.

即4a24=a21-6a1a3+9a23=10+8a23+6（-a1）a3

=10+8a23+6（-ka1）a3k

≤10+8a23+6k2a21+a23k22

=10+（8+3k2）a23+3k2a21.

令8+3k2=3k2，得k2=3.于是4a24≤10+9a23+9a21=100，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5（當(dāng)且僅當(dāng)a1=-1a3=3時取到）.

（2）柯西不等式法

（14+94）（a21+a23）≥（-12a1+32a3）2=a24，當(dāng)且僅當(dāng)a1-12=a332，即a1=-1a3=3時取等號.

評注 邏輯推理是得到數(shù)學(xué)命題、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ).在解決較為復(fù)雜問題時，我們要有預(yù)見性，這樣才能使問題中的隱性關(guān)系顯性化.對于一個問題，未知與已知之間的關(guān)系有時是比較顯性的，解題就比較順暢；而有時又是隱性的，解題就比較坎坷.我們利用邏輯推理就可以結(jié)合基本不等式和柯西不等式改善求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)后便于解題. 邏輯推理是科學(xué)素養(yǎng)的思維核心.一個人具有邏輯推理的素養(yǎng)，就可能會理性地觀察、理解和解釋周邊事物.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣；有利于學(xué)生提升探究事物本源的能力；有利于學(xué)生形成創(chuàng)新意識，提升創(chuàng)新能力.

二、問題啟示

二元最值問題一般解法可歸納為：消元法，換元法，不等式法，主元法，和線性規(guī)劃，配湊法等，主要用到方程思想（主元法），函數(shù)思想（消元法，換元法），等價轉(zhuǎn)化思想（不等式法、配湊法），數(shù)形結(jié)合思想（線性規(guī)劃）.這需要我們平時解題時選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ訌?qiáng)經(jīng)驗(yàn)積累，并做好解題后的反思，因?yàn)榻忸}思想來源于實(shí)踐又對實(shí)踐有指導(dǎo)作用.當(dāng)然這類問題在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)就是條件極值問題，我們可以用拉格朗日乘數(shù)法，這里就不加敘述了.

美國著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞說：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面.使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”因此，在日常解題教學(xué)中可以通過例題的一題多解一方面使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行再認(rèn)知，深化理解知識間的聯(lián)系，從而達(dá)到復(fù)習(xí)知識，提升能力，優(yōu)化已有知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的目的；另一方面，可以讓學(xué)生體會站在系統(tǒng)的高度上看問題給解題獲取思路帶來的便利.在一點(diǎn)一滴的積累過程中，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，借助數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體參與，不要教師一講到底，因?yàn)椤案嬖V我，我會忘記；分析給我聽，我可能記住；如果讓我參與，我會真正理解”.教學(xué)不僅要授魚，更要授漁，通過一題多解，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心深處的創(chuàng)新意識，使得學(xué)生有創(chuàng)新的沖動，化被動為主動，就是說教學(xué)還要授人以漁.核心素養(yǎng)的養(yǎng)成不是一朝一夕之功，需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生站在系統(tǒng)的高度用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待教材各章節(jié)的知識，整體把握知識框架，做透教材中的例題，習(xí)題，體會蘊(yùn)含其中的解題技巧，思想方法，從而沖破題海，提高學(xué)習(xí)效率.當(dāng)然，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)不僅僅是掌握知識點(diǎn)和技能，更重要的是在知識學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的人格特征和智慧特征，是學(xué)科內(nèi)在和潛在價值、精神和文化在學(xué)生身上的體現(xiàn).

本文若能給您帶來一些啟發(fā)，筆者將倍感欣慰.