淺談取整函數(shù)

邢懷勇

摘 要：取整函數(shù)是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，本文通過對幾個(gè)例題的分析闡述了解有關(guān)取整函數(shù)類問題的策略.

關(guān)鍵詞：取整函數(shù)；解題策略

取整函數(shù)定義：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù).則y=[x]稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).顯然，y=[x]的定義域是R，值域是Z.任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和，即x=[x]+a（0≤a<1），因此，[x]≤x<[x]+1.

取整函數(shù)是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念.它的定義域是連續(xù)的，值域卻是離散的，取整函數(shù)關(guān)聯(lián)著連續(xù)和離散兩個(gè)方面，因而有其獨(dú)特的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)競賽或高考中也備受命題者的青睞.用[x]命制的試題情境新穎，彈性大，利于賦予新意，具有挑戰(zhàn)性，而在解決與之相關(guān)的問題時(shí)，可以依據(jù)的命題、法則不多，規(guī)律性不明顯，解法變化大，靈活性強(qiáng)，往往會用到多種數(shù)學(xué)思想方法，其中較為常見的有分類討論（例如對區(qū)間進(jìn)行劃分）、命題轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、湊整、估值等等.

例1 試畫出f（x）=x-[x]的圖像.（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）

解析 若做出上述函數(shù)圖象，需先分析一下取整函數(shù)[x]的圖像的基本性質(zhì)和特征.

（1）由y=[x]的定義易知[x]的圖形在y=x的圖形的下方.

（2） 由y=[x]的性質(zhì)知[x]的圖像是一組階高為1的平行于x軸的平行線段，這組平行線段呈階梯形.

可見函數(shù)y=[x]是一個(gè)不減（非單調(diào)） 的非周期的函數(shù)，其圖像如下：

所以f（x）=x-[x]， 是一有界、周期為1的非單調(diào)函數(shù)，其圖像如下圖所示：

例2 （2010年高考陜西卷理科10）某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（ ）

A. y=x10x+310B. y=x+310

C. y=x+410 D. y=x+510

解析1 當(dāng)x除以10的余數(shù)為0，1，2，3，4，5，6時(shí)，由題設(shè)知y=x10，且易驗(yàn)證知此時(shí)x10=x+310.

當(dāng)x除以10的余數(shù)為7，8，9時(shí)，由題設(shè)知y=x10+1，且易驗(yàn)證知此時(shí)x10+1=x+310.

故綜上知，必有y=x10.故選B.

解析2 依題意知：若x=16，則y=1，由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；若x=17，則y=2，由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故由排除法知，本題應(yīng)選B.

例3 某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)Pk（xk，yk）處，其中x1=1，y1=1，當(dāng)k≥2時(shí)，

xk=xk-1+1-5[T（k-15）-T（k-25）]，yk=yk-1+T（k-15）-T（k-25）.

T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（26）=2，T（02）=0，按此方案，第6棵樹種植的坐標(biāo)是，第2008棵樹種植的坐標(biāo)是.

解析 xk是1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，….

yk是1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，….

由規(guī)律可知，第6棵種植點(diǎn)是（1，2），第2008棵種植點(diǎn)是（3，402）.

例4 設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)（如[2]=2， [54]=1），對于給定的n∈N*，定義C2n=n（n-1）…（n-[x]+1）x（x-1）…（x-[x]+1），x∈[1，+∞），則當(dāng)x∈32，3時(shí)，函數(shù)C2n的值域是

A.163，28 B.163，56

C.4，283∪[28，56）D.4，163∪283，28

解析 當(dāng)32≤x<2時(shí)，[x]=1，Cx8=8x∈（4，163].

當(dāng)2≤x<3時(shí)，[x]=2.

Cx8=56x（x-1）∈（283，28]，于是選D.

例5 （2015年聊城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽）解方程3x3-[x]=3.

解析 對于次數(shù)較高的含[x]的方程，分區(qū)間討論不失為一種有效的方法.

若x≤1，則3x3-[x]≤3x-x+1=2x+1<0.原方程不成立；

若-1

若0≤x<1，則3x3-[x]=3x3-0=3x3<3.原方程不成立；

若1≤x<2，則3x3-[x]=3x3-1.原方程即為3x3=4，解得：x=343；

若x≥2，則3x3-[x]≥3x3-x>3x-x=2x>4.原方程不成立；

所以，原方程的解為：xx=343.

數(shù)學(xué)提供了有特色的思考方式：抽象化、符號化、公理化、最優(yōu)化、建立模型，應(yīng)用這些思考方式能使人們批判的閱讀，辨別謬誤，擺脫偏見，估計(jì)風(fēng)險(xiǎn).所以說數(shù)學(xué)是思維的體操.

同時(shí)，數(shù)學(xué)的抽象性可幫助我們抓住事物的共性和本質(zhì)，數(shù)學(xué)賦予知識以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性，它能增強(qiáng)思維的本領(lǐng)，提高抽象能力、邏輯能力和辯證思維能力.