高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想研究不等式問題

焦占紅

摘 要：不等式的計(jì)算與證明是高中教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，并且是高考的熱點(diǎn).筆者所在地區(qū)使用高考全國(guó)一卷，不等式多與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量、三角函數(shù)相結(jié)合，難度為中等偏上.研究不等式，既要遵循證明不等式的基本思想和方法，又要結(jié)合自身的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征.用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的方法會(huì)大大降低運(yùn)算量，提高解題的成功率，同時(shí)立足課本，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和重點(diǎn)知識(shí)的使用及掌握.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；不等式；單調(diào)性

不等式因其形式多樣長(zhǎng)期成為高考的熱點(diǎn)，研究不等式，既要遵循證明不等式的基本思想和方法，又要結(jié)合自身的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征.本文借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)探究：一、習(xí)題引申

證明不等式 （人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第32頁(yè)習(xí)題1.3 B組1題）：ex>1×x，x≠0，由此習(xí)題可得下面結(jié)論：

結(jié)論1 若x>-1則1n（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號(hào)成立.

結(jié)論2 若x>0 則1nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號(hào)成立.

結(jié)論3 若x>-1則1n（1+x）≥xx+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號(hào)成立.

這些源于重要極限limx→∞（1+1x）x=e及另一種極限形式lima→0（1+α）1a=e，這是大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程的入門內(nèi)容，也是與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系較為緊密的部分.每年各省都側(cè)重本知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的連續(xù)性，及高校選撥人才的特點(diǎn).

當(dāng)然，我們選用其他方法也能解決，但是會(huì)加大運(yùn)算量及思維量，而用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的方法會(huì)大大降低運(yùn)算量，提高解題的成功率，同時(shí)立足課本，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和重點(diǎn)知識(shí)的使用及掌握.

學(xué)生在解決此類問題時(shí)，往往由于構(gòu)造函數(shù)不合適或分式處理不當(dāng)而造成無法完成.

二、例題分析

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=1-e-x.

（Ⅰ）證明：當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）≥xx+1；

（Ⅱ）設(shè)當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤xax+1，求a的取值范圍.

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力.

解 （Ⅰ）當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）≥xx+1當(dāng)且僅當(dāng)ex≥1+x.

令g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1.

當(dāng)x≥0時(shí)g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)；

當(dāng)x≤0時(shí)g′（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是減函數(shù).

于是g（x）在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)x∈R時(shí)，g（x）≥g（0），即ex≥1+x，所以當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）≥xx+1.

本題學(xué)生易犯錯(cuò)誤是，對(duì)分式?jīng)]有分離常數(shù)，而直接做差求導(dǎo)數(shù)，帶來困難，忽略e-x的通分.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x>0時(shí)，f（x）>0，得a≥0，當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)于一切的a都成立.

故考慮x>0的情況：

（1）原問題分離變量為a≤x+e-x-1x（1-e-x）對(duì)于x>0恒成立，

則首先滿足a≤limx→0x+e-x-1x（1-e-x）=12，故這里就得到a的必要條件為0≤a≤12.

此處用到了洛必達(dá)法則，在處理分式函數(shù)00，∞∞的恒成立問題時(shí)，洛必達(dá)法則能避開分類討論，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)沒有那么難.

（2）下面證明a≤12是充分條件.當(dāng)a=12時(shí)，

整理為g（x）=x2ex-ex+x2+1≥0，

∵g′（x）=x2ex-ex2+12，g″（x）=x2ex>0，

∴g′（x）單調(diào)遞增，則g′（x）>g′（0）=0，

故g（x）單增遞增，則g（x）>g（0）=0

則12≤x+e-x-1x·（1-e-x）成立，那么當(dāng)a≤12時(shí)，該不等式也成立.

綜上：a的取值范圍是[0，12]

點(diǎn)評(píng) 作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.

例2 把函數(shù)y=1nx-2的圖象按向量a（-1，2）平移得到函數(shù)y=f（x）的圖象，

（1）若x>0，證明f（x）>2xx+2，

（2）若不等式12x2≤f（x2）+m2-2bm-3 對(duì)b∈[-1，1]，x∈[-1，1] 時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.

解 f（x）=1n（x+1）-2+2=1n（x+1）.

（1）即證1n（x+1）-2xx+2>0在x>0時(shí)成立，令g（x）=1n（x+1）-2xx+2，因?yàn)間′（x）=1x+1-4（x+2）2=x2（x+1）（x+2）2，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）遞增，故g（x）>g（0）=0.即g（x）>0.所以1n（x+1）>2xx+2.

移項(xiàng)做差，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)遞增，所以每點(diǎn)處的函數(shù)值都大于區(qū)間左端值.

（2）原不等式為-2mb+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥0關(guān)于b的一次不等式在b∈[-1，1]恒成立，所以兩端點(diǎn)值要非負(fù)，

即-2m+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥02m+1n（x2+1）-12x2+m2-3≥0，

要在x∈[-1，1]恒成立，又變成兩個(gè)關(guān)于x的不等式恒成立，

即1n（x2+1）-12x2≥-m2+2m+31n（x2+1）-12x2≥-m2-2m+3在x∈[-1，1]恒成立，

即g（x）=1n（x2+1）-12x2在x∈[-1，1]的最小值要同時(shí)大于等于-m2+2m+3與-m2-2m+3，現(xiàn)在求g（x）的最小值.g′（x）=2xx2+1-x，可得g（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故g（x）的最小值為g（0）=0，那么

-m2+2m+3≤0-m2-2m+3≤0m∈（-∞，3]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng) 兩次恒成立，告訴誰(shuí)的范圍那么誰(shuí)就是變量，另外的全是參數(shù).本題學(xué)生習(xí)慣于將x當(dāng)做自變量，對(duì)數(shù)與二次函數(shù)的混合將造成巨大的計(jì)算，甚至無法算出結(jié)果，而巧妙的運(yùn)用變更主元法可將二次變?yōu)橐淮魏瘮?shù)的處理，從而降低難度，迎刃而解.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=x4+ax3+b（x∈R），其中a，b∈R.若對(duì)于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍.

解 f ′（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）由條件a∈[-2，2]可知

Δ=9a2-64<0，從而4x2+3ax+4>0恒成立.當(dāng)x<0時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，f ′（x）>0.

因此函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者.

為使對(duì)任意a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）max≤1，

即f（1）≤1f（-1）≤1，即b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2，2]上恒成立.即b≤（-2-a）minb≤（-2+a）min，a∈[-2，2].所以b≤-4.

因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4].

點(diǎn)評(píng) f（x）≤1，即f（x）max≤1，a∈[-2，2]，x∈[-1，1]，要解決此題關(guān)鍵是求f（x）max.部分學(xué)生在處理f ′（x）=4x3+3ax2+4x，感到束手無策，屬于多項(xiàng)式因式分解掌握不好，沒有提公因式的意識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn).此題為多項(xiàng)式函數(shù)，通過單調(diào)性，判斷最值，b≤-2-ab≤-2+a在a∈[-2，2]上恒成立.

反思 重點(diǎn)考察高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的銜接，考察數(shù)學(xué)的重要極限，變更主元，突出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單化思想，讓學(xué)生掌握分類討論，感受抽象.

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