數學原型與命題解題技巧

林國欽

摘 要：有很多數學綜合題都是由一些數學原型（如公式、定理、簡單題目等）通過改變形式、組合變換、修飾偽裝等手斷變化而成，把本是簡單的問題變得紛繁復雜，成為難題.這是數學命題的一種重要的技巧，掌握命題技巧，可使我們在平常命題時，自己出新題.避免綜合題一味摘用別人的舊題，也有助于解題能力的提高，能識破出題人的技倆和偽裝，抽絲剝繭，顯露原型，破解難題.

關鍵詞：變換；技巧；證明；函數

一、利用數學原型數數變換

例1 求證：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.

分析與證明 本題用分析法雖可以證明，但很繁.考察題中四個分式都型如x1+x.

考察函數F（x）=x1+x，易證函數F（x），x∈[0，+∞）是增函數.

而0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

所以F（|a+b+c|）≤F（|a|+|b|+|c|）.

即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|

=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|

+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|

+|c|1+|c|.

命題技巧探討 這樣的好題是如何命題出來的呢？從上述證明過程可以窺視到出題者的思想：這個命題首先利用兩個數學原型：

1.不等式0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

2.基本命題：函數F（x）=x1+x， x∈[0，+∞）是增函數.

再將上述兩個數學原型加以復合、變形而得.解題時如果能洞察出題者的思想，順勢而為，化難為易，迎刃而解.再對本題進一步考察：若（1）將函數換成其它單調函數，（2）不等式換成其它不等式進行組合、變換，則可根據不同的難度要求變化出很多命題，取之不盡，用之不竭.

二、利用數學原型數形變換

例2 （第十五屆全俄中學生數學競賽試題）設x、y、z都在（0，1）內，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析與證明 直接用代數法難以證明.因此，考察題中數量特征：∵x、y、z都在（0，1）內，∴x、y、z、（1-x）、（1-y）、（1-z）都是正數，而不等式左邊各項都是兩數積的形式，與三角形的面積公式S=12absinc相似.考察邊長為1的正三角形ABC，如圖D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點，且AD=x，BE=z，CF=y，則BD=1-x， CE=1-z，AF=1-y，

即12×1×1×sin60°>12x（1-y）sin60°+12y（1-z）sin60°+12z（1-x）sin60°.

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

命題技巧探討 從以上證明過程可以推測出本題的命題技巧：

利用數學原型

1.三角形面積公式：S=12absinc.

2.如圖S△ABC>S△ADF+S△CFE+S△BED.

將各個三角形面積用面積公式代入化簡就得到本命題.也就是將一個簡單的幾何圖形問題轉化為一個看似較難的代數問題.證明技巧恰恰相反，需要能根據問題中的數量關系，發現代數問題的幾何意義，數形結合才能化難為易.

三、類比數學原型題

例3 n為自然數，求證：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析與證明 用數學歸納法易于證明（略）.

命題技巧探討 這個等式是如何發現的呢？這里試以探討.聯想到一個數學原型題：n為自然數，1+2+3+…+n=n（n+1）2.而12+22+32+…+n2的結構形式與1+2+3+…+n相似，自然與之類比，它們是否存在某種關系呢？因此，考察Sn=1+2+3+…+n，S′n=12+22+32+…+n2.

Sn與S′n的值列表如下：

可以發現：S′nSn=2n+13.

即：S′n=n（n+1）（2n+1）6.

即：12+22+33+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

當然這只是類比與猜想，正確性用數學歸納法證之.用同樣的方法可以證明另一題：n為自然數，求證：13+23+33+…+n3=n2（n+1）24.

四、利用數學原型題復合

例4 （1989年全國統一高考理科試題）是否存在常數a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=n（n+1）（an2+bm+c）12對一切自然數n都成立，并證明你的結論.

分析與證明

故當a=3 ， b=11， c=10時，1·22+2·32+…+n（n+1）2=n（n+1）（an2+bn+c）12對一切自然數n都成立.

命題技巧探討 從第二種證法可以看到本題的命題思想是利用例3的兩個原型命題.

1.n為自然數，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

2.n為自然數，13+23+33+…+n3=n2（n+1）24.

兩個等式相減、變形而得新的例題.

參考文獻：

[1]李錦旭，高明濤. 構造輔助函數的若干解題技巧[J].高中數學教與學，2011（4）：44-45.

[2]李鑫. 構造法解題技巧及類型探微[J].新課程研究，2015（4）：63-64.