基于函數模型的S型無碳小車的凸輪設計

李洲　陳鑫　李祥光　文春海

摘要：針對軌跡為S 型運動特性的無碳小車，對其進行了設計優化及參數調整。通過對標準的S形軌跡進行分析，運用解析數學求出凸輪行程與導向輪偏角的關系，并用擬合函數分析設計凸輪行程及凸輪基圓半徑，設計了一臺創新型“S”無碳小車。最后利用MATLAB進行凸輪輪廓曲線設計，保證運行小車凸輪結構的合理性。

關鍵詞：無碳小車；S型軌跡；凸輪設計；數學函數分析

第五屆全國大學生工程訓練綜合能力競賽中的S型無碳小車，要求將小車上砝碼下落的重力勢能轉化為驅使小車前行的動能，并且通過轉向機構使小車實現避開障礙物，呈S形軌跡行駛。在歷屆全國大學生工程訓練大賽中，眾多S型無碳小車的參賽團隊采用曲柄搖桿機構、空間四桿機構作為小車的轉向機構。陳果等使用了了空間曲柄搖桿機構，通過曲柄連桿的傳遞使得水平面上的搖桿連接的方向輪隨之左右擺動從而實現小車轉向要求[1]。王政等通過對RSSR空間四桿機構的優化設計，使轉向機構的對稱性得到提高，使其作為無碳小車的轉向機構[2]。這些轉向機構結構都會存在急回的特性，這種特性會導致最終小車行駛的軌跡發生偏離。雖精確地微調機構能較好的避免急回特性帶來的誤差，但這將使得其中的微調機構設計較為復雜。在歷屆眾多參賽隊伍中，采用曲柄搖桿機構的占多數，因此創新型設計凸輪機構作為小車的轉向機構。在凸輪的傳動機構中，設計適當、合理的的凸輪輪廓能實現從動件任意的的與預期相符的運動的規律和運動的方式。于是凸輪式物碳小車成為比賽中的一大亮點。

一、采用函數模型設計凸輪的優勢探討

函數模型是處理生活中實際問題的一般的方法，同時也是處理科學中理論問題的一種十分經典的方法。它能根據生活中某種特定的生活現象特有的內在規律，并對此種現象做出簡化和有效的假設，運用適當的數學函數，概括或近似地表述出來的一種數學結構。

在凸輪設計中，核心部分就是凸輪輪廓線的設計，凸輪的輪廓曲線的設計通常采用解析法和圖解法。借用函數模型用解析法對凸輪進行設計，可以設計出精度更高的凸輪。為使S型無碳小車能繞樁走更遠的路程，要求小車S型軌跡左右對稱，則從動件需運動平整，精度高。利用函數模型設計的凸輪基圓、行程、從動件、輪廓曲線能較合理的滿足上述要求。

二、關于利用函數模型對S型無碳小車的凸輪設計

（一）凸輪行程的確定

1.從動件運動規律確定

S型無碳小車是將砝碼下落的重力勢能轉換為小車的動力勢能，同時滿足小車能沿S性軌跡行走并繞樁。為提高小車行走軌跡的準確性，則要求凸輪機構中從動件適于低速運動、凸輪輪廓曲線便于加工和測量[3]。如下表所示，通過比較從動件的各種運動特性，發現簡諧運動規律中，從動件只有在行程的開始和終止時的瞬間，加速度會產生突變，產生柔性的沖擊，因此采用了諧振運動規律。

2.凸輪行程計算

為使小車路程走得更遠，同時讓小車擁有一定的容錯率，預留了小車400mm的安全距離，故模擬小車轉向輪的標準軌跡如圖1：

其中400mm為小車軌跡的振幅即小車的安全距離，2000mm為小車走一個S軌跡的軸向距離即兩個樁的距離。代入正弦函數式得：

f（x）=400sin2πx2000（1）

對此函數進行一階求導，得：

df（x）dx=π1000×400cosπx1000（2）

df（x）dx=2π5cosπx1000（3）

x為小車整體前進的位移，令x=0，則df（x）dx=2π5，即小車在行駛S軌跡中導向輪最大偏角出現在樁線與標準軌跡相交處，如圖2。設導向輪最大偏角為α，則tanα=2π5=1.2566，最大偏角α=arctan2π5。

對于如何實現從動件對導向前輪的偏轉，我們小組決定采用齒輪齒條機構來解決。凸輪的行程H即從動件往復運動距離M，齒輪齒條嚙合處距導向輪旋轉中心為N，即為齒輪齒條機構中齒輪的分度圓半徑r=12m*z。

當導向輪達到最大偏角時，此時凸輪使從動件達到最近或最遠，則tanα=M2N，M=2N*tanα，凸輪行程H=M ，H=2N*tanα 。

（二）滾子半徑的選取及凸輪基圓的確定

1.滾子半徑選擇

本文在設計轉向機構中，為使凸輪與從動件結構緊湊，嚙合緊密，因而采用滾子將凸輪與從動件連接，因此將凸輪設計為盤形溝槽凸輪。

滾子半徑rk的大小對凸輪機構的運動規律及其受力性能都會產生影響。增大rk可以有效的解決凸輪與轉向機構中的受力性能問題，同時可以減少凸輪與滾子接觸面之間的接觸應力。但若rk過大，會對凸輪實際輪廓產生影響，甚至可能導致從動件運動規律失真。所以，在確定從動件機構中的滾子半徑時，應先保證從動件直桿的運動規律不會發生失真現象，在此基礎上考慮減少滾子的磨損程度，可使滾子心軸能滿足強度要求，故rk應小于輪廓線的最小曲率半徑ρmin ，即rk≤ρmin，一般取rk≤0.8ρmin。

2.凸輪基圓確定

設從動件滾子與凸輪接觸處點絕對速度矢量為v1 ，凸輪轉動的角速度為1 ，凸輪基圓半徑為r0 ，凸輪輪廓上任一點失徑為r ，凸輪機構的壓力角為，從動件的位移為s[5]2。則由該點速度與失徑關系，可知v1=rω1tanα，即r=v1ω1tanα，且s2=r-r0。

由上式，得

r0=r-s2=v1ω1tanα-s2（4）

即

r0∝1tanα∝1α（5）

可知凸輪基圓半徑r0與壓力角成反比。凸輪機構的尺寸取決于凸輪的基圓半徑r0 ，如果取小基圓半徑r0，則可得到尺寸緊湊的凸輪機構。若從改善凸輪機構的受力性能考慮，凸輪基圓半徑r0取大。因此，綜合考慮到小車整體結構的布局和限制以及以及凸輪機構和其他機構的安裝問題，以及后期實驗經驗所得，選取凸輪基圓半徑為31mm 。

（三）利用matlab進行凸輪輪廓曲線的設計

根據反轉法原理，凸輪機構中推桿的滾子再反轉運動中，滾子與凸輪接觸點的軌跡即為盤形凸輪的理論輪廓，凸輪沿其角速度方向轉過角，就相當于推桿在反轉運動中沿方向轉過角。

盤形凸輪的理論輪廓線方程如下：

X=（s0+s）sinφ+ecosφ（6）

Y=s0+scosφ-ecosφ（7）

其中s0=r20-e2，φ凸輪轉角，s是從動件位移，e是從動件的偏置[6]。

凸輪的實際輪廓線的方程為：

x1= x+rkdy/dφdxdφ2+dydφ2（8）

y1= y+rkdx/dφdxdφ2+dydφ2（9）

其中rk為滾子半徑。當偏心直動推桿凸輪機構在推程運動中時，凸輪與推桿的相對運動瞬心在某一點時，其壓力角為α，則：

tanα = ds/dφes + r20 e2（10）

當偏距為0時，此時

tanα=ds/dφs+r0（11）

有公式（6），（7），（8），（9），（11），則理論輪廓線的曲率半徑：

ρ= dxdφ2+dydφ2 3/2dxdφd2ydφ2-dydφd2xdφ2（12）

二階求導凸輪理論輪廓線：

d2xdφ2=（2dxdφ-e）cosφ+（d2sdφ2-s0-s）sinφ（13）

d2ydφ2=（d2sdφ2-s0-s）cosφ-（2dxdφ-e）sinφ（14）

綜合上述各式，得到世紀輪廓曲率半徑0

ρ0=ρ+r

運用matlab軟件，通過編寫M文件，如圖3所示：

使用其中主要的函數和命令，繪制出凸輪輪廓線。以凸輪轉角φ作為循環控制變量，實現對凸輪某個運動角或整周360度區域的輪廓，按照相同公式進行逐點的參數計算[7]。最終得到如圖4所示：

三、結語

對于此次S型無碳小車的凸輪機構的設計，相比于其他類的轉向機構，凸輪機構能有效地避免急回特性的產生，從而降低小車整體行駛軌跡的偏移。通過對一些數學知識的運用，計算出凸輪行程與導向輪偏角的關系，并設計出凸輪行程，同時也運用擬合函數分析設計凸輪基圓半徑。最后通過matlab模擬繪畫出凸輪輪廓曲線，驗證凸輪輪廓曲線的合理性。

參考文獻：

[1]陳果，黃榮舟，李炳川.無碳小車轉向機構設計與微調分析[J].機械工程師，2015，（08）：152154.

[2]王政，何國旗，胡增.基于ADAMS軟件的無碳小車轉向機構設計[J].湖南工業大學學報，2013，27（5），2832.

[3]粱慶，吳偉.基于MATLAB的無波動往復泵凸輪參數化設計[J].重型機械科技，2006，（04），1820.

[4]唐林.機械設計基礎[M].北京：清華大學出版社，2013：93103.

[5]唐林.機械設計基礎[M].北京：清華大學出版社，2013：112113.

[6]杜志強，葛述卿，房建峰，溫廣宇.基于MATLAB語言的機構設計與分析[M].上海：上海科學技術出版社，2011：178184.

[7]郭仁生.基于MATLAB的凸輪機構設計[J].順德職業技術學院學報，2005，3（1），2022.

作者簡介：李洲（1995），男，湖北孝感人，學生，2014級汽車服務工程 ，主要從事汽車制造、機械制造研究。

通訊作者：陳鑫（1988），男，武漢商學院機電工程與汽車服務學院教師。