一維玻色愛因斯坦凝聚中的空間孤子能態密度初步研究

熊擇正　袁一帆??

摘要：在玻色愛因斯坦凝聚體系中，玻色子由于體系極低的溫度，較弱的相互作用以及位置空間中的外場相互作用，其狀態波函數在位置空間呈現孤子形態。在本文中，我們研究了堿金屬原子體系在方勢阱中體系空間波函數與動量空間能態密度的轉化問題，為低溫下BEC體系的孤子熱力學問題分析提供了研究基礎，為相關量子體系（如無相互作用或者弱相互作用體系）的研究提供了嶄新的方法和思想。

關鍵詞：玻色愛因斯坦凝聚；孤子；空間波函數；能態密度函數

1924年，玻色和愛因斯坦在理論上預言了玻色愛因斯坦凝聚現象的存在，即當理想玻色子被冷卻到一個臨界溫度以下時，將發生相變，形成一種新的物質狀態——波色愛因斯坦凝聚態。在凝聚體中，宏觀數量上的玻色原子占據能量最低態，并且表現出相同的量子特性，從而得以在宏觀上觀測BEC現象。在本文中，我們根據絕對零度（或者極低溫度）時，能描述精確玻色愛因斯坦凝聚的動力學行為的GrossPitaevskii（GP）方程和其他學者研究方勢阱中的體系波函數的結果，探索了BEC體系下如何求得孤子在動量空間中的能態密度函數。

1 利用方勢阱囚禁玻色子氣體的系統孤子行為

近年來，方勢阱已經成功地被添加到BEC的實驗中。根據BEC的電磁相互作用本質，方勢阱可以通過電勢的突然變化來實現。下面我們就以這種理想化的方勢阱作為條件來研究其作用下BEC孤子特性。

首先根據GP方程，如果我們將一個方勢阱添加在BEC系統中，我們可以得到以下的方程：

ih-[SX（]ψ[]t[SX）]=[SX（]-h-2[]2m[SX）][SX（]ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（1）

其中V（x）[JB（{]V0，-[SX（]L[]2[SX）]0，|x|≥[SX（]L[]2[SX）][JB）]

將其無量綱化（為了數學上的方便），得到：

i[SX（]ψ[]τ[SX）]=-[SX（]1[]2[SX）][SX（]2ψ[]x2[SX）]+V（x）ψ+g|ψ|2ψ[JY]（2）

根據帶有虛數單位非線性方程的一般辦法，將的實部和虛部分開，即：

ψ（x，t）=A（x，t）exp[iB（x，t）].將其代入上式并對比實、虛部有

[SX（]A[]t[SX）]+A[SX（]2B[]x2[SX）]+2[SX（]A[]x[SX）]·[SX（]B[]x[SX）]=0[JY]（3）

A[SX（]B[]t[SX）]-2A[]x2+A（[SX（]B[]x[SX）]）2+gA3+V（x）A=0

[JY]（4）

2 孤子體系于動量空間中的能態密度函數

在前文中，我們利用GP方程得到了方勢阱中的孤子解。但是眾所周知，量子力學中的波函數與統計物理中的能態密度函數都是數學中的概率密度函數，二者是否可以在相空間中進行轉化呢？該部分將利用量子力學中的基本關系進行對該問題的探索。首先既然是為了得到孤子的能態密度函數，那么自然要在動量表象中進行GP方程的解。對于前文中分離變量x與t的兩個方程，根據量子力學中的動量算符定義p=-ih-[SX（][]x[SX）]并將其無量綱化，有：

[SX（]A[]t[SX）]+3pAB=0[JY]（5）

A[SX（]B[]t[SX）]+p2AB-p2A+gA3+V（x）A=0[JY]（6）

現在研究勢阱外情形，此時V（x）=0，則有

-A[SX（]2A[]t2[SX）]+（[SX（]A[]t[SX）]）2+p2A2B2-p2A2+gA4+V（x）A=0[JY]（7）

將B用A的式子代替并合

[SX（]dA[]dt[SX）]=f，以及A2=T，F=f2[JY]（8）

則有，

[SX（]dF[]dt[SX）]-（1+[SX（]1[]9p2[SX）]）[SX（]F[]T[SX）]+2p2-2gT=0[JY]（9）

根據一階線性微分方程的解法，以及在T=0時（即波函數模平方為零時），

有F=0，此時為T的極值點，最后得到

C1ln

（[SX（]λ2-[KF（]a[KF）][]λ2+[KF（]a[KF）][SX）]）=t+c2，λ=A[JY]（10）

即事實上，孤子在動量空間的能態密度函數D（p）會隨著時間變化。其中為積分常數，而

[JB（{]C1=

[SX（]g（9p2+1）3/2[]6[KF（]2[KF）]p4[SX）]

a=[SX（]18p4[]9p2+1[SX）][JB）][JY]（11）

所以

D（p）～[SX（]2[KF（]a[KF）][]1-[SX（]et+C2[]C1[SX）][SX）]-[KF（]a[KF）][JY]（12）

通過以上的探究，我們發現孤子的動量空間能態密度函數呈現出與平均場近似以下的BEC體系很顯著的區別。首先它隨時間呈非線性變化的趨勢，其次它與動量之間具有十分復雜的聯系，這時它的熱力學性質可能有著未曾被注意過的影響。

3 結論

關于第三節（作為本文的核心內容），我們期望通過對方勢阱中孤子體系的研究（比較幸運地得到了一個解析結果），將其擴展到一般情況。在量子力學的波函數與統計物理的能態密度函數這兩個最基本的概率密度函數之間是否有著類似于此的深刻聯系，筆者經過思考，認為是很有理論探索可行性的，其關鍵就在于量子力學中動量與位置的基本關系p=-ih-[SX（][]x[SX）] 。在大量的量子體系中（例如大量無相互作用粒子活動于各種勢壘中），如果可以順利地（近似）解出或者列出薛定諤方程，那么利用這一關系，會將關于位置與時間變量的波函數轉化成關于動量和時間變量的能態密度函數，從而為研究復雜量子體系的熱力學性質提供了嶄新的視角和方法。筆者查閱大量文獻，發現幾乎沒有相關研究，因此在此拋磚引玉，以俟遠者繼續拓展研究。

參考文獻：

[1]周政.準一維玻色愛因斯坦凝聚中的孤子及應用.湖南師范大學碩士畢業論文，2010.

[2]熊駿.一維修正GrossPitaevskii方程的精確解.長江大學學報（自然科學版），2004.9，1（2/3），5863.