一種簡便的剛度矩陣坐標轉換方法

古雨 杜鵬 余忠儒 李叔容

摘 要：本文分析了矩陣位移法中基本的坐標轉換的方法，發現坐標轉換的一定規律，提出一種更為簡便的剛度矩陣坐標轉換方法。并以坐標轉換90度為例進行驗證，證明此方法簡便可行。

關鍵詞：矩陣位移法；坐標轉換；剛度矩陣

0 引言

解決結構力學問題時，常常使用矩陣位移法，運用“電算”的方法計算桿端力、支座反力，最后畫出受力圖。其中，在求總剛矩陣Ke時，必須列出單元剛度矩陣Ke，再將各單元坐標系下剛度矩陣進行坐標轉換，疊加后得到整體坐標系下的總剛矩陣。

1 問題提出

由于單元坐標系與整體坐標系不同，故需進行剛度矩陣的坐標轉換，通過下式進行運算：

Ke=TTKT

其中：Ke——整體坐標系下剛度矩陣；K——單元坐標系下剛度矩陣；

T——單元坐標轉換矩陣；TT——單元坐標轉換矩陣T的轉置矩陣。

上式計算時至少是3個6×6的矩陣相乘，計算量大且容易出錯，并且不同角度的坐標系轉換沒有統一的計算模板，所以怎樣能夠使剛度矩陣的坐標轉換變得簡便，成為本文探究的問題。

2 方法提出與問題求解

本文以單元坐標體系與整體坐標體系夾角為90°時為例進行研究，有桿件①②、整體坐標系XOY與單元坐標系X①OY①如圖所示：

易知Y①=-X，X①=Y，即局部坐標系下X和Y所對應行和列互換，且Y所對應行和列項各取一次負號，以桿②為例，單元坐標系下剛度矩陣如下：

用整體編碼替換單元編碼，且對第2、5行、第2、5列所對應項各取一次負號，對應變化后K②，如下：

特別說明：局部剛度矩陣變化時，其中K22、K25、K52、K55進行兩次取負號處理，即正負號與原來保持一致。

對矩陣編碼進行整理，得到整體坐標系下②桿的剛度矩陣K②e：

3 總結與分析

與原有基于線性代數知識推導得出的求解方法相比，此方法計算量明顯減小，不易出錯，且更易理解。但是，本文僅對單元坐標體系與整體坐標體系夾角為90°時的情況進行研究與分析，驗證此方法的可行性；當角度變化為其他角度時，此方法的推導思路仍然適用，但推導過程計算量仍然較大，適用性較差。

參考文獻

[1]龍馭球，包世華.結構力學[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]同濟大學數學系.線性代數（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

（作者單位：西華大學）