挖掘一道課本復習題的教學價值

孟炎??

摘 要：作為教學一線的教師，我們必須充分重視課本習題，對典型的習題還要從多角度挖掘其典型的教學價值，這樣做不僅能加深學生對數學概念、法則、定理等基礎知識的理解和掌握，讓學生在解題的準確性、靈活性和敏捷性上達到新的高度，而且對開發學生智力，培養學生良好的思維品質亦有好處。本文通過對課本一道習題的教學談談自己的一些想法。

關鍵詞：數學復習題；教學價值

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-119-1

蘇教版必修五第2章《數列》復習題第17題為：

在等差數列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

這道題如果就題論題講解，不要花費多少時間，但是這道題的教學價值沒有得到應有的體現。教師若能引導學生多方位去探求各種不同的解法，不僅能系統梳理、復習等差數列的有關基礎知識，而且對等差數列內在的本質屬性會有更深刻的認識。

為便于全面挖掘本題的教學價值，我們先把問題特殊化，考慮下列問題：

在等差數列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110。

注：該解法思路自然，是一種常規解法，最常規的方法也是最有效的方法，所有的學生都必須理解、掌握。該解法的缺點是但運算量相對較大。

解法2：數列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90，S110-S100（*）成等差數列，設該等差數列的公差為D，數列前10項和為10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

該數列第11項為S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：該解法運用了等差數列的性質：等差數列的依次每k項之和仍組成等差數列。

解法3：數列（*）的前10項和為S100=10，而S10=100，

所以等差數列S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…S100-S90的前9項之和為-90，

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

而數列S10，S20-S10，S30-S20，…S60-S50，…，S100-S90，S110-S100的和為中間一項的11倍，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：該解法兩次運用了等差數列的性質：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}為等差數列的充要條件為其前n項和為Sn=An2+Bn，

將S10=100，S100=10代入上式可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：該解法注意到等差數列前n項和的公式的結構特征，Sn=An2+Bn，利用待定系數法求解確定等差數列的前n項和。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直線y=（x-1）d2+a1上的一串點，

顯然（10，10），（100，110），（110，S110110）共線，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2聯想到直線方程。等差數列的前n項和為Sn，當n取不同的值時，（n，Snn）是共線的一系列點。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式兩邊同乘以110得S110=-110。

注：整體代換可以極大地減少運算量，而運用整體代換的前提是準確認識問題的結構特征。

以上分析可以發現，解決問題的關鍵是熟練掌握等差數列的定義、通項公式、前n項和的公式等基礎知識，而如果對數列的性質有清楚的認識，則可以讓問題的求解變得更加簡潔。

我們回到原問題，從上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解決該題，下面我們先用解法6來求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

兩邊同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

利用例4的解法也可以進行整體代換：

設Sn=An2+Bn，由Sp=q，Sq=p（p≠q）得

Sp=Ap2+Bp=q，（1）Sq=Aq2+Bq=p，（2）

（1）-（2）得A（p2-q2）+B（p-q）=q-p，

A（p+q）+B=-1，

Sp+q=A（p+q）2+B（p+q）=-（p+q）。

數學解題教學，題不在多，關鍵是充分挖掘已有問題的教學價值，讓學生通過一道問題不僅能夠復習鞏固相關的基礎知識，對相關的概念、公式的理解上一個臺階，而且能夠掌握求解這一類問題的一般方法，更要讓學生體會數學的思想方法。上述問題中，解法1、解法4滲透了函數與方程的思想，解法2、解法3、解法6都用到整體代換的思想，解法5實際上是數形結合思想的應用，這中間還滲透特殊和一般轉化的思想：當問題困難時把問題特殊化，簡單的特殊的問題解決了，再把問題一般化，而解決特殊問題時的方法對解決一般問題是有啟發的。這樣的教學讓學生所掌握的一般的思想方法可以遷移到解決其他問題，學生分析問題、解決問題的能力也就得到了提升。