橢圓型方程的一種新型非協(xié)調混合元法

張現(xiàn)強

摘 要：基于橢圓型方程的新型混合變分形式，該文給出了一種新的非協(xié)調混合有限元方法。由于速度空間只需滿足平方可積性質，因此混合元配對變得簡單易取。該方法分別采用分片常數(shù)元和非協(xié)調的Crouzeix-Raviart元來逼近速度和壓力。通過驗證離散的LBB條件證明了有限元逼近解的存在惟一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。與傳統(tǒng)的混合元配對格式比較，新方法只需較少的自由度便可達到同樣的數(shù)值精度。

關鍵詞：橢圓型方程 混合變分形式 混合有限元 非協(xié)調元

中圖分類號：O241.82 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）04（a）-0248-03

A New Nonconforming Mixed Finite Element Method for Elliptic Equations

Zhang Xianqiang

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan Ningxia， 750021， China）

Abstract： In this paper， we develop and analyze a nonconforming mixed finite element method for the Poisson equation based on a new mixed variational formulation. The velocity is approximated by piecewise constant element and the pressure by nonconforming Crouzeix-Raviart element. It is shown that this pair of finite elements is stable and yields optimal accuracy in some sense.

Key Words： Elliptic equation； Mixed variational formulation；Mixed finite element； Noncomforming element

該文考慮如下的二階橢圓方程邊值問題：

（1）

這里為一個有界凸多邊形區(qū)域，表示外力。 此方程廣泛應用于物理學、力學等領域， 其混合有限元方法的研究一直是個熱點問題[1-6]。傳統(tǒng)的混合變分形式要求速度具有較高的正則性，而在實際中僅需要具有-正則性。 基于此，文獻[7-8]中給出了一種新型混合變分形式， 并證明了其解的存在唯一性。由于壓力空間不再是傳統(tǒng)的空間，而是空間，因此混合元的選取變得簡單容易。針對Poisson方程，文獻[7]討論了由分片常數(shù)速度元和分片線性壓力元構成的協(xié)調有限元對。文獻[8]采用最低等階協(xié)調有限元對求解并利用速度的局部Gauss積分之差對其離散格式加以穩(wěn)定。隨后，文獻[9]研究了穩(wěn)定化最低等階非協(xié)調混合有限元方法。

與協(xié)調有限元法相比，非協(xié)調Crouzeix-Raviart元可以降低對連續(xù)性的要求，具有計算簡單、收斂速度快、利于并行求解的優(yōu)點，且更易滿足離散的LBB條件，實際計算效果常常優(yōu)于協(xié)調有限元[10]。該文的主要工作是將[7-9]中的方法加以推廣，對橢圓型提出和建立了一個穩(wěn)定的非協(xié)調有限元格式。

該文結構如下： 第2節(jié)介紹模型問題的變分形式及其非協(xié)調元離散方法。第3節(jié)分析離散問題的穩(wěn)定性和收斂性。該文采用通常的Sobolev空間的定義、范數(shù)、半范數(shù)和記號。文中C為一般常數(shù)，在不同的地方具有不同的含義。

1 混合變分形式及其非協(xié)調元離散

定義空間：

引入通量，則方程（1）的一個新的變分形式為： 求，使得：

（2）

其中：

由文獻[8]中的引理1和引理2，應用Babuska-Brezzi理論[1，3]， 我們可得問題（2）解的存在唯一性。

設是的一個擬一致正則三角形剖分，網(wǎng)格步長為。記為內部單元邊的集合。對于任意的邊，的中點記為。我們定義非協(xié)調元離散空間為：

這里表示區(qū)域上的線性多項式空間，為區(qū)域上的常數(shù)空間。顯然。

問題（2）的非協(xié)調混合有限元離散逼近格式為：求，使得：

（3）

其中：

這里，算子定義為：

對任意的，定義范數(shù)：

定義為標準的投影算子，即：

定義為標準的Crouzeix-Raviart插值算子，即：

由插值理論[10]可知：

≤ （4）

≤ （5）

≤ （6）

≤ （7）

引理：在空間中是連續(xù)的， 且：

（8）

在空間中也是連續(xù)的，且存在不依賴于的常數(shù)，使得：

≥ （9）

因此， 問題（3）存在唯一解。

證明：利用Cauchy-Schwarz不等式，我們知道和是連續(xù)的，且（8）是顯然的。故我們只需證明（9）。由文獻[3]可知：對任意的，存在，使得：

≤

由的定義以及為分片常數(shù)可知：

，利用（4）式，有：

≥

≥

由此即得到（9）式的結論.由（8）式，（9）式和混合元理論（[1-5]）知， 離散問題（3）有唯一解。

2 收斂性分析

由定理1， 我們有：

引理：設和

分別為（2）和（3）的解，則：

≤ （10）

證明：由第二Strang引理[1-5]可知：

（11）

其中：

（12）

（13）

另一方面，注意到當時，，故：

。 （14）

利用Green公式和（1）式可得：

（15）

其中為函數(shù)在單元邊界上的跳躍。注意到在單元邊界的中點上連續(xù)。利用（13），（15）式和跡不等式可得：

（16）

其中投影算子定義為：

結合（6）， （7）和（11）- （16）知引理成立。

4 結語

在科學與工程計算的研究領域中，許多問題可以用橢圓型方程進行描述。傳統(tǒng)的混合元格式對速度需要散度空間，且論證復雜，給實際的計算帶來了諸多困難。基于實際問題對通量較低的正則性要求，該文在橢圓型方程的一種新型穩(wěn)定化混合變分形式的基礎上，采用非協(xié)調混合有限元的方法對其求解，證明了有限元解的存在唯一性，以及有限元逼近在某種意義下是最優(yōu)的。

參考文獻

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