談數(shù)學(xué)中的類比推理

孟許亞??

摘 要：無論是中國古代的蕭何，還是外國近代的奧恩布魯格、施旺、沃森和克里克，都使用類比思維獲得了成功。數(shù)學(xué)的發(fā)展，更離不開類比推理。學(xué)會使用類推的人，不僅會在考試中創(chuàng)造輝煌，而且在日后的公務(wù)員考試、研究生入學(xué)考試中屢屢受益。

關(guān)鍵詞：類推；驗(yàn)證；行之有效；用武之地

中圖分類號：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-043-1

《中國古代智慧故事大全》記載的一則搞笑故事，能讓我們初步了解類比推理的思維方式：秦末漢初，經(jīng)過多年戰(zhàn)事的百姓，常常吃了上頓沒下頓，不少達(dá)官顯貴卻整日飲酒作樂。漢高祖劉邦認(rèn)為酒不僅耗費(fèi)糧食，而且消磨意志，甚至禍國殃民，便下了“禁塞嫁娶飲酒食肉”的禁令。這項(xiàng)禁令客觀上取得了成效，但有少量貪圖享受的大臣仍對禁令置之不理。劉邦一怒之下，出了更嚴(yán)的“私藏酒器，毀器斬人”禁令。宰相蕭何的一位好友，遭人舉報(bào)，被查出了一套祖?zhèn)鞯脑炀破鞑?，?shù)日后將人頭落地。第二天，朝上劉邦見蕭何愁眉苦臉，便開導(dǎo)道：“其罪當(dāng)誅，何憂？”?！俺紤n天下也。男丁皆有塵根，有犯奸之嫌，理當(dāng)絕之。然，大漢何以為繼？”蕭何的回答使劉邦意識到自己因噎廢食了。最終，那位好友自然幸免于難。

如果兩類對象具有某些類似特征，憑借其中一類對象的某些已知特征，就推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（有時(shí)簡言之為類推）。上述故事中，蕭何就是借助如果“酒器能產(chǎn)酒，該毀?！?，那么“男根或犯奸，該絕”，一個(gè)類推而成的詭辯，不僅婉諫了劉邦，而且巧救了好友。

運(yùn)用這種類比推理取得成功的，科學(xué)史上比比皆是：由于父親經(jīng)常用手指敲擊盛酒的木桶，根據(jù)聲音推測桶內(nèi)的酒的容量，奧地利醫(yī)生奧恩布魯格類推發(fā)明了叩診法——通過叩擊人體胸腔的方法判斷其中有無積水或積水的多少；施萊登觀察到細(xì)胞是組成植物體的基本單位，他由此而類推到動(dòng)物體。接著，他廣泛地對動(dòng)物各種組織進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)動(dòng)物體也是由細(xì)胞構(gòu)成的，在此基礎(chǔ)上，建立了細(xì)胞學(xué)說；空間結(jié)構(gòu)呈螺旋型的蛋白質(zhì)，引發(fā)了沃森和克里克對DNA結(jié)構(gòu)的類推，通過DNA分子的X射線照片進(jìn)行對照，證實(shí)了該推理的正確性……

數(shù)學(xué)發(fā)展史上，用類推構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的實(shí)例更是不勝枚舉。如由“以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程：（x-a）2+（y-b）2=r2”，得到“以點(diǎn)（a，b，c）為球心，r為半徑的球體的方程應(yīng)為（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2”；又如由“平行于同一直線的兩直線平行”，類推到“平行于同一平面的兩平面平行”；

不難看出，類比推理的步驟：（1）尋找合適的類比對象；（2）由一類對象的已知特征推測另一類對象也具備這些特征，得出一個(gè)猜想。

類推得到的猜想是否一直正確呢？我們先看一個(gè)類推：由平面幾何中的“垂直于同一直線的兩直線平行”，得到立體中的一個(gè)命題“垂直于同一平面的兩平面平行”，從教室的墻角能一目了然地看出這是個(gè)假命題。也就是說，類推的猜想未必正確。如果想當(dāng)然地認(rèn)為類推的結(jié)論正確，就會在考后扼腕嘆息。這樣一道數(shù)學(xué)競賽題“如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面互相，那么這兩個(gè)二面角（ ）A.相等 B.垂直或相等 C.相等或互補(bǔ) D.以上都不對”就曾讓不少選手“大意失荊州”。解答此題，大多數(shù)考生用的是由“如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，進(jìn)行類推，認(rèn)為應(yīng)選C。事實(shí)上，把可以隨意開關(guān)的門與墻面看作第一個(gè)二面角，把與上述墻面垂直的另一墻面和地面看作第二個(gè)二面角，就發(fā)現(xiàn)正確答案是D。

可見，類推的結(jié)果是否正確必須需要驗(yàn)證。這一點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，務(wù)必記住。下面，筆者結(jié)合一道例題，來具體談一下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何進(jìn)行類推。

例題 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.并證明你的結(jié)論。

【分析】 類比起點(diǎn)是：平面內(nèi)直角三角形勾股定理，“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”。其條件是兩線互相垂直，從平幾到立體進(jìn)行類推，由二維平面到三維空間，條件理所當(dāng)然地變成三個(gè)兩兩垂直的平面；原結(jié)論是“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”，由線到面、兩點(diǎn)的線長到三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積，新結(jié)論是“四面體斜面的面積的平方等于三個(gè)直角面的面積平方和”。

下面來證明這一結(jié)論：

已知：平面DEFDEP、平面DFP平面DEF，平面DEP平面DFP，設(shè)三角形DEF、DEP和DFP的面積依次為S1、S2、S3，三角形PEF的面積為S。

求證：S21+S22+S23=S2

證明：根據(jù)“如果兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面”可得直線DE、DF和DP兩兩垂直，由勾股定理易得

PE2=DE2+PD2，PF2=DF2+PD2，EF2=DE2+FD2，

在PEF中，由余弦定理，可得

cos2∠PEF=（EP2+EF2-PF2）24EF2·EP2=DE4（DP2+DE2）（DE2+DF2）

于是sin2∠PEF=（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）2（DP2+DE2）（DE2+DF2）

所以S2=14EP2EF2sin2∠PEF=14（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）

=（12DE·DF）2+（12DE·DP）2+（12DF·DP）2=S21+S22+S23

數(shù)學(xué)習(xí)題的解答中，類推是一種行之有效的解題方法。只有在平時(shí)不斷地訓(xùn)練，才能切實(shí)提高自己的類推水平，才能在各類考試中創(chuàng)造佳績。下列思維，使用類推，都有利于數(shù)學(xué)知識的掌握。